1.1 Поскольку вектор силы сонаправлен с вектором начальной скорости частицы, то ее движение будет прямолинейным и равноускоренным. В таком случае частица, двигаясь вдоль прямой (траектория движения частицы), покинет выделенную область в точке с координатами . Для вычисления времени движения частицы найдем ее ускорение и запишем закон равноускоренного движения

Решение квадратного уравнения (1) даёт два корня

Из которых нас интересует корень со знаком «+». Таким образом, частица покинет выделенную область в указанных координатах через промежуток времени

1.2 Поскольку в данном случае вектор силы не параллелен вектору начальной скорости частицы, то её движение будет происходить по параболе, ветви которой направлены вверх. Движение вдоль оси будет равноускоренным () без начальной скорости, т.к. вектор «горизонтален». Следовательно, частица достигнет верхней границы области за время

При этом смещение частицы вдоль оси составит

Как следует из (5), частица покинет выделенную область, двигаясь по параболе, в точке , координаты которой через промежуток времени (см. рис.).
Отметим, что в данной задаче необходим анализ, через какую из сторон частица покинет данную область. При меньшем ускорении это было бы возможно и через сторону .

1.3 Если при движении частицы на неё действует сила, которая все время перпендикулярна вектору скорости частицы (т.е. сила «поворачивается» вместе с частицей), то эта сила не может изменить модуля скорости частицы, изменяя лишь её направление. Следовательно, траектория движения в данном случае будет представлять собой окружность некоторого радиуса (см. рис.), по которой частица будет равномерно двигаться.

Согласно второму закону Ньютона для движения частицы по окружности запишем

Как следует из (6), частица, совершив под действием силы пол-оборота, покинет выделенную область через точку начала координат (точка 0), имея тот же модуль скорости , но противоположное направление движения. Это произойдет через промежуток времени

Таким образом, траектория движения частицы в этом случае будет представлять собой полуокружность радиуса , координаты точки выхода частицы — .

1.4 Данный пункт является самым «олимпиадным» вариантом движения частицы в данной задаче. Действительно, как следует из условия, в начальный момент времени вектор силы перпендикулярен вектору начальной скорости частицы. Однако мы не можем утверждать, что это свойство системы сохраниться в любой момент времени и при дальнейшем движении частицы, поскольку возможен вариант «различных» поворотов векторов силы и скорости с течением времени.

В таком случае обратимся к методу аналогий и постараемся «угадать» необходимое решение, используя опыт рассмотрения различных кинематических задач. Если рассмотреть движение точки на ободе колеса, катящегося без проскальзывания со скоростью по горизонтальной поверхности, то можно заметить, что ее скорость в верхней точке траектории равна , поскольку складываются скорости поступательного и вращательного движений.

Рассмотрим, колесо радиуса , центр которого движется без проскальзывания со скоростью по горизонтальной поверхности. Тогда скорость движения его верхней точки () будет совпадать и по модулю и по направлению со скоростью частицы. Угловая скорость поворота колеса (соответственно и угловой скорости поворота колеса) в этом случае равна

Ускорение частицы будет обусловлено только вращением, следовательно, модуль силы, действующей на точку обода колеса массой , будет равен

Проекции силы на оси координат равны

Таким образом, начальные условия (координаты и скорости) и зависимости ускорений от времени в дух задачах совпадают, поэтому совпадают и законы движения. Таким образом, траекторией движения частицы в данном случае будет траектория точки на ободе катящегося без проскальзывания колеса – циклоида.

Следовательно, частица в первый раз коснется границы выделенной области в точке (см. рис.) через время, равное половине оборота колеса в точке с координатами .

В заключение продемонстрируем все точные траектории движения точки, рассмотренные в данной задаче на отдельном рисунке.