Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
4.1 Колесо радиуса катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности, вращаясь вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью . Введем декартову систему координат, как показано на рисунке. Точка , находящаяся на ободе колеса, в момент времени находилась в начале координат.
Запишите уравнения, описывающие зависимости от времени проекций ускорения ; проекций скорости ; координат точки .
Найдите среднюю скорость движения точки за достаточно большой промежуток времени.
Пусть колесо повернулось на угол , при этом его центр сместился на расстояние . Координаты точки в этот момент будут определятся выражениями
Скорость точки можно представить как сумму скоростей поступательного движения , направленной горизонтально, и вращательного движения , направленной по касательной к ободу колеса. Поэтому компоненты полной скорости точки имеют вид
Ускорение точки является центростремительным, направленным к центру колеса. Модуль ускорения , а его проекции на оси координат
Заметим, что уравнения (2), (3) могут быть получены простым дифференцированием функций (1).
Понятно, что средняя скорость точки направлена вдоль оси и равна
4.2 Две одинаковых частицы, массы которых равны , движутся вдоль оси под действием изменяющихся во времени сил. На первую частицу действует сила, на вторую ( - известные постоянные величины). Запишите уравнения зависимостей от времени ускорений частиц , скоростей частиц , их координат . Найдите средние скорости частиц за достаточно большой промежуток времени.
На основании второго закона Ньютона можно записать уравнения, описывающие ускорения точек
Эти уравнения по форме совпадают с уравнениями (3), для большей наглядности перепишем их в виде
Если обозначить , то получим полное совпадение.
Причем, что немаловажно, совпадают и начальные условия — при координаты и скорости точек равны нулю. Следовательно, выражения для скоростей и ускорений будут теми же, что и в предыдущем пункте, поэтому нам достаточно переписать функции (2), (1), заменив в них на :
Продолжая аналогию между двумя задачами, сразу найдем
4.3 Электрон движется в поле плоской электромагнитной волны, вектор напряженности электрического поля которой направлен вдоль оси и изменяется со временем по закону , а вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси и изменяется со временем по закону . Длина волны велика настолько, что можно пренебречь зависимостью характеристик волны от координаты . В поле электромагнитной волны при не слишком больших скоростях движения электрона выполняется соотношение . Используя это соотношение, найдите зависимость проекции скорости электрона на ось от времени. Найдите среднюю скорость движение электрона вдоль оси (скорость дрейфа электрона). Считайте, что первоначально скорость электрона равнялась нулю.
