Решение

Республиканская олимпиада 2011 10 класс № Э1
1.1

1.1 Для рассматриваемой цепи в любой момент времени справедливо уравнение (закон Ома):

Если напряжение на конденсаторе достигает стационарного значения, то ток в цепи прекращается, поэтому при

В начальный момент зарядки напряжение на конденсаторе равно нулю , поэтому в этот момент сила тока равна

Следовательно, скорость изменения напряжения на конденсаторе в этот момент рассчитывается по формуле

В соответствии с предложенной в условии методикой определяем характерное время зарядки

2.1

2.1 Результаты измерений зависимостей напряжения на конденсаторе от времени при двух значениях напряжения ( при В и при В) представлены в Таблице 1. Графики этих зависимостей показаны на рисунке.

Таблица 1. Зарядка конденсатора.

, с , мВ , мВ , с , мВ , мВ
5 180 60 200 2610 1110
10 260 100 205 2640 1130
15 380 130 210 2670 1140
20 470 170 215 2700 1160
25 560 210 220 2740 1170
30 660 240 225 2760 1190
35 760 280 230 2790 1210
40 830 320 235 2820 1220
45 920 350 240 2840 1230
50 1000 390 245 2870 1250
55 1090 420 250 2890 1260
60 1160 450 255 2920 1270
65 1230 480 260 2950 1290
70 1300 510 265 2970 1300
75 1380 540 270 2990 1310
80 1440 570 275 3020 1320
85 1510 600 280 3040 1340
90 1580 630 285 3050 1350
95 1640 660 290 3070 1360
100 1700 690 295 3100 1370
105 1770 710 300 3120 1380
110 1820 740 305 3140 1390
115 1870 760 310 3150 1400
120 1920 780 315 3170 1410
125 1980 810 320 3190 1420
130 2030 830 325 3200 1430
135 2080 850 330 3220 1440
140 2130 880 335 3230 1450
145 2180 900 340 3240 1460
150 2220 920 345 3260 1470
155 2280 940 350 3280 1480
160 2310 960 355 3290 1490
165 2360 980 360 3300 1500
170 2390 1000 365 3310 1500
175 2420 1020 370 3330 1510
180 2460 1040 375 3340 1520
185 2510 1060 380 3350 1530
190 2540 1070 385 3360 1540
195 2570 1090 390 3380 1540
200 2610 1110 395 3390 1550
400 3400 1560

Зависимость напряжения
на конденсаторе от времени

2.2

2.2 Главная причина неравенства предельных значений напряжения на конденсаторе
с установленными напряжениями - ток утечки конденсатора. Для подтверждения
этого утверждения достаточно показать, что и в предельном режиме (по прошествии
большого промежутка времени) достаточно провести измерения напряжения на резисторе
— оно отлично от нуля, что свидетельствует о том, что ток в цепи продолжает идти. Так
как напряжение на конденсаторе при этом не изменяется, то это есть ток утечки. Иными
словами, для правильного описания
режимов работы цепи в эквивалентную
схему параллельно конденсатору
следует добавить резистор с
сопротивлением равным
сопротивлению конденсатора.

2.3

2.3 Для расчета сопротивления
конденсатора можно измерить установившиеся значения напряжений на резисторе и на
конденсаторе. В этом случае (при отсутствии тока зарядки) выполняется соотношение
(условия постоянства силы тока):

Проведенные измерения (после 1 часа зарядки) дали следующие значения2:

, В , мВ , мВ , кОм
4,0 1848 102 540
2,0 3500 357 295

2 [^2]

Важно (и неожиданно!), оказывается сопротивление конденсатора зависит от напряжения на нем: с ростом напряжения сопротивление падает («конденсатор течет сильнее»). Кроме того, даже в установившемся режиме сумма напряжений на конденсаторе и резисторе оказывается меньше начального установленного напряжения . Это связано с тем, что сопротивление делителя напряжений (потенциометра) оказывается сравнимым с сопротивлением подключенной цепи.

Для грубой оценки сопротивления конденсатора можно попытаться воспользоваться и данными снятыми с графиков зависимости напряжения на конденсаторе от времени, полагая, что суммарное напряжение не изменилось. Такие оценки дают следующие результаты: ( при и при )

для кОм

для кОм

При таком подходе получены заниженные оценки, кроме того не проявляются различия в сопротивлении конденсатора при разных напряжениях. Поэтому дополнительные измерения при большем времени зарядки необходимы!

2.4

2.4 По построенным графикам временных зависимостей можно определить примерные предельные значения напряжений на конденсаторах и характерные времена зарядки конденсатора при двух напряжениях источника. Такие построения показаны на рисунке, результаты представлены ниже:
ВсВс
Важно отметить, что характерные времена зарядки зависят от начального напряжения, что свидетельствует о зависимости сопротивления конденсатора от напряжения на нем!

2.5

2.5 Теоретический расчет характерных времен зарядки представляет собой достаточно громоздкую, но посильную задачу. Прежде всего, отметим, что упрощенный расчет этих времен (при условии постоянства напряжения на выходе потенциометра) дает принципиально неверный результат.

Действительно, в рассматриваемой цепи (в рамках сделанного приближении) при зарядке выполняются соотношения

из которых следует, что с. Хотя в действительности эти времена оказываются большими, чем .

Следовательно, необходимо полностью и корректно рассчитывать начальные токи и установившиеся напряжения на конденсаторе в цепи, показанной на рисунке. Причем в начальный момент времени следует полагать, что и рассчитать силу тока , а в установившемся режиме и найти напряжение на .

Результаты таких расчетов представлены в таблицах
Ro= 100 Umax= 4,8
R= 30 Uo= 4
C= 4,00E-03 R1= 83,3
Rc= 0 Rc= 300
Rx= 30 Rx= 330
Rob= 38,73 Rob= 83,2
Io= 0,124 Io= 0,058
I1= 0,091 I1= 0,012
U lim= 3,49
Ur lim= 0,35
153 с
Ro= 100 Umax= 4,8
R= 30 Uo= 2
C= 4,00E-03 R1= 41,7
Rc= 0 Rc= 500
Rx= 30 Rx= 530
Rob= 75,78 Rob= 96,96
Io= 0,063 Io= 0,050
I1= 0,037 I1= 0,004
Ulim= 1,80
Ur lim= 0,11
196 с

Полученные результаты совпадают с результатами измерений (как по временам зарядки, так и по предельным значениям).

4.1

4.1 Результаты измерения временных зависимостей напряжения на конденсаторе для схемы, показанной на рисунке, и соответствующие графики приведены в таблице 3 и на рисунке.

Таблица 3. Зарядка с параллельным стабилитроном.

4,0 В 2,0 В
t,с Ud, мВ Ud, мВ
5 150 68
10 246 101
15 348 142
20 450 180
25 548 221
30 641 257
35 724 295
40 811 330
45 899 363
50 976 399
55 1057 431
60 1138 464
65 1196 495
70 1259 526
75 1317 558
80 1364 584
85 1403 614
90 1437 641
95 1458 667
100 1477 695
105 1481 721
110 1486 746
115 1489 769
120 1492 792
125 1494 816
130 1495 838
135 1495 860
140 1496 881
145 1496 902
150 1496 923
155 1496 941
160 1496 960
165 1496 978
170 1497 994
175 1497 1012
180 1497 1026

Пока напряжение на конденсаторе не достигло напряжения стабилизации, стабилитрон практически не влияет на процесс зарядки (для сравнения приведена кривая зарядки без стабилитрона). После того, как напряжение достигло 1,5 В зарядка прекращается – весь ток протекает через стабилитрон. При начальном напряжении 2,0 В стабилитрон практически не влияет на процесс зарядки, так как не достигается значения напряжения стабилизации.

4.2

4.2 При последовательном подключении стабилитрона временная характеристика зарядки становится иной.

Зарядка с последовательно подключенным стабилитроном

Предельное напряжение уменьшается на напряжение стабилизации стабилитрона (т.е на В). Так как стабилитрон вносит дополнительное сопротивление, возрастает также время зарядки конденсатора.

Примечания

  1. 2. Справедливости ради отметим, что на самом деле мы получаем сопротивление параллельно соединенных конденсатора и мультиметра (его сопротивление примерно равно 1,2 Мом, Поэтому реальное значение сопротивления конденсатора оказывается большим. Однако, в условии задачи оговорено, что мультиметр можно считать идеальным вольтметром, с бесконечно большим сопротивлением. ↩
Э1 Измерения с помощью омметра

Приборы и оборудование: Два мультиметра, переменный резистор 20 кОм, полупроводниковый диод, соединительные провода.
Укажите в работе марку выданных …

 РеспубликанскаяРесп. 2020 11 кл. Закон ОмаЭДС и внутреннее сопротивление источникаНелинейные элементы, ВАХ У Р Б П ≈5/5 Э1 Термодатчик

В данной работе вам следует исследовать электрические свойства датчика температуры и самостоятельно сконструировать и исследовать свойства …

 РеспубликанскаяРесп. 2017 9 кл. Закон ОмаЭлектрическое сопротивление, удельное сопротивлениеНелинейные элементы, ВАХ У Р Б П ≈5/5 Э2 Деление токов и деление напряжений

Приборы и оборудование: Источник тока (батарея «Крона»), кусок проволоки длиной 110 см, мультиметр, амперметр стрелочный, вольтметр стрелочный …

 РеспубликанскаяРесп. 2023 9 кл. Закон ОмаЭлектрическое сопротивление, удельное сопротивлениеПравила Кирхгофа и методы расчёта цепей У Р Б П ≈5/5 Э2 Как измерить сопротивление раствора?

Основная цель данного задания – разобраться с принципами работы электронного мультиметра в различных режимах.
Приборы и материалы: мультиметр …

 Городская3-й этап 2023 10 кл. Закон ОмаЭлектрическое сопротивление, удельное сопротивлениеЭДС и внутреннее сопротивление источника У Р Б П ≈5/5 Э1 Неидеальный конденсатор
  • В мире нет ничего идеального!
    • А как же шар и куб?
    • Шар неустойчив, а куб плохо катается!
    (Диалог математика и физика)*
    В данном задании вам …
 РеспубликанскаяРесп. 2025 11 кл. Электроёмкость. КонденсаторыЗакон ОмаПереходные процессы в RC- и RL-цепях У Р Б П ≈4/5 Э1 Суперконденсатор

Приборы и оборудование: самодельный конденсатор, источник напряжения В, два постоянных резистора сопротивлением примерно равным кОм, мульт …

 РеспубликанскаяРесп. 2019 11 кл. Электроёмкость. КонденсаторыСоединение конденсаторовПереходные процессы в RC- и RL-цепях У Р Б П ≈4/5
← Подсказки Режим тренировки →