1.1 Результаты измерений зависимости высоты столбика масла в верхней трубке от времени даны в Таблице 1. Там же приведены и результаты необходимых в дальнейшем расчетов.

Для расчета скорости использовалась предложенная в условии схема.

Отметим, что высота столбика воды в нижней практически такая же, как и масла в верхней. График полученной зависимости показан на рисунке.

Таблица 1. Перетекание масла.

1.2 Для объяснения наблюдаемого эффекта необходимо предположить, что нижний край верхней пластиковой трубки находится вверху нижнего сосуда, а верхний край нижней трубки внизу верхнего сосуда. В этом случае по первой трубке масло будет перетекать вверх, а по второй – вода вниз (см. рисунок).

1.3 Покажем, что скорость перетекания жидкостей линейно зависит от высоты столбика масла (и равной ей высоты столбика воды) . Обозначим давление жидкости на верхнем срезе трубки в верхнем сосуде , тогда давление в нижней области этой трубки будет равно

где - плотности воды и масла,
соответственно, - высота сосуда и примерно равная ей длина трубки (различием в них и толщиной пробки пренебрегаем).
Аналогично для нижнего сосуда: - давление в его верхней части, тогда давление у дна

Разумно предположить, что скорость течения жидкостей в трубках пропорциональна разности давлений на ее концах³. Тогда для скорости течения масла (вверх!) можно записать уравнение

где - некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических размеров трубки и вязкости масса, - гидростатическое давление масла в трубке. Аналогично для движения воды (вниз – поэтому гидростатическое давление воды в трубке войдет с другим знаком!) справедливо уравнение

Сложив уравнения (3)-(4), и после приведения подобных членов, получим

Отсюда следует, что скорость движения жидкостей в трубках пропорциональна величине , то есть высоте столба воды в верхнем сосуде

Следовательно, этой же величине пропорциональна и скорость движения границ масла и воды в обоих сосудах.

³ [^3]

1.4 На графике показана зависимость скорости движения границы от координаты , рассчитанная по экспериментальным данным.

На начальном этапе, пока процесс перетекания не установился (когда случайным образом влияют пузырьки воздуха, капельки воды и масла в трубках) скорость даже возрастает.

Этот же факт можно видеть и на начальном этапе графика закона движения.

В дальнейшем скорость движения практически линейно зависит от координаты, что подтверждает проделанные теоретические расчеты.

Параметры линейной зависимости

рассчитанные по МНК оказываются равными

Заметим, что уравнение (7) можно записать в виде

где , , что, во-первых, совпадает с видом уравнения (6); во-вторых, дает значение длины трубки близкое к ее реальной длине.

Дополнение (не обязательное для участников олимпиады).

Более строго и надежно закон движения можно обосновать на основании уравнения (6). Если скорость изменения координаты подчиняется уравнению

то закон движения имеет вид

Его удобно представить в логарифмической шкале

График этой зависимости показан на рисунке.

Как видно, в этом случае разброс точек значительно меньше (так как мы избежали процедуры численного дифференцирования). С помощью этого графика можно определить требуемые параметры с большей точностью.

Так, например, коэффициент наклона оказывается равным , что на порядок точнее, чем приведенное ранее значение.

2.1 Результаты измерений зависимости высоты подъема мокрой границы от времени приведены в Таблице 1. Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 1. Намокание бумаги.

2.2 Так как процесс подъема воды медленный, то можно считать, что его скорость определяется процессами вязкого трения. В этом случае сила сопротивления пропорциональны скорости движения и высоте поднятого столба. Силы поверхностного натяжения, поднимающие воду, постоянны. Поэтому, приравнивая эти силы, получим

Из этого уравнения следует

В реальности измерялось время до достижения заданной величины, поэтому в таблице 1 шаг координаты постоянен, а шаг времени заметно изменяется. Поэтому, строго говоря, и следовало обрабатывать зависимость . Однако, в данном случае нам важно проверить только вид зависимости, поэтому обработка обратной функции более наглядна и приводит практически к тем же результатам.

Если просуммировать полученное уравнение, получим

где - неизвестная постоянная, выражающаяся через столь же неизвестные параметры . Для проверки данной зависимости можно воспользоваться двумя равноценными способами, построив зависимость либо , либо .

На графиках представлены обе зависимости. Как видно, они достаточно близки к линейным, что подтверждает сделанное предположение и проведенные теоретический анализ. Значения требуемого параметра оказались в пределах погрешности совпадающими

Отметим, что, не смотря на кажущееся подобие законов движения в двух частях данного задания, они оказались различными.

Справедливости ради следует сказать, что с определенной точностью процесс намокания бумаги также может быть аппроксимирован экспоненциальной зависимостью.

Проинтегрировать!