Как измерить радиус кривизны с помощью секундомера?

1.1-1.3 Для расчета периода колебаний необходимо измерить диаметр полукольца. Так как полукольцо имеет некоторую толщину, то измерим как внешний , так и его внутренний диаметры:

В данном случае основная погрешность есть приборная, в качестве которой взята цена деления линейки.
Рассчитаем значения периодов колебаний по приведенным формулам (заменив в них радиус на диаметр):



Для повышения точности измерения и оценки случайных погрешностей проведем несколько (у нас 5) измерений времен 15 колебаний. Предварительный эксперимент показывает, что большее число колебаний измерить сложно из-за их затухания. Результаты измерений и их обработки приведены в Таблице 1. Случайная погрешность измерения времени рассчитывалась по формуле⁴

где - число измерений.
Погрешность измерения периода равна , где - число колебаний в одном измерении.

Таблица 1. Результаты измерений и их обработки.

Для наглядного сравнения результатов расчетов и измерений сведем их в одну таблицу 2.

⁴ Не следует строго следовать приведенному расчету погрешностей. Допустим и упрощенный вариант, по среднему модулю отклонения.

Таблица 2. Результаты расчетов и измерений.

Как видно из Таблицы 2 наблюдается неплохое соответствие между теоретическими и экспериментальными значениями. Небольшие расхождения в случае колебаний 1 и 3 типов, скорее всего, обусловлены неучтенной в расчетах толщиной полукольца.

Это предположение подтверждает заметное расхождение (явно выходящее за пределы погрешности) для колебаний 2 типа. В этом случае можно уточнить теоретическую формулу. В формулах для периода колебаний (ссылаемся на решение задачи теоретического тура) в знаменателе стоит величина равная расстоянию от оси вращения до центра масс, поэтому формула (2) из условия задачи может быть уточнена:

При таком уточнении мы получаем лучшее соответствие с экспериментальными данными.

1.4 Рассчитаем отношения периодов колебаний. Погрешность измерения отношения периодов рассчитывается по формуле

Теоретическое отношение периодов может быть рассчитано «без погрешностей». Результаты расчетов также представим в Таблице 3.

Таблица 3. Отношение периодов.

Со всеми ранее сделанными оговорками можно говорить о соответствии результатов расчетов и измерений.

Допустим и упрощенный метод расчета

Часть 2.

2.1 – 2.2 Для измерения положения центра масс можно подвесить линейку (со скотчем) за один из ее концов и рядом отвес. На самой линейке засечь точку пересечения . После этого на листе бумаги зарисовать линейку, провести линию отвеса (через конец линейки и точку пересечения отвесом) и ось симметрии изогнутой линейки. Точка пересечения этих прямых и будет центром масс. Затем необходимо измерить требуемые геометрические величины , .

Периоды всех типов колебаний измеряются стандартно.

Результаты измерений (среднее значения периодов рассчитаны по 3 измерениям) представлены в Таблице 4 и на Графике 1.

Таблица 4. Зависимости периодов колебаний от изгиба линейки.

График 1. Зависимости периодов колебаний от изгиба линейки.

2.3 Для проверки согласования формул выразим из них значения параметра :

Результаты расчетов этих параметров для различных значений изгибов линейки представлены в последних столбцах Таблицы 4 и на Графике 2.

График 2. Зависимости параметров от изгиба линейки.

Погрешность измерения периода составляет величину порядка , погрешность измерения положения центра масс - порядка , поэтому погрешность определения данных параметров составляет не менее . Следовательно, можно говорить о том, что рассчитанные значения данных параметров соответствуют друг другу в пределах погрешности измерений.

Если считать параметр постоянным, то его значение следует взять равным среднему арифметическому из всех рассчитанных значений с погрешностью равной примерно .

Расчет этой величины приводит к значениям

Таким образом, можно считать, что значения параметра могут лежать в интервале и при этом в пределах погрешности его можно считать постоянным.

Линеаризация зависимостей может быть проведена различными способами. С нашей точки зрения наиболее эстетично выглядит «симметричная»:

В качестве допустимого разброса значений этого параметра также можно взять стандартное отклонение, рассчитанное по всем значениям данного параметра. По приведенным данным оно равно , что примерно совпадает с полученной выше оценкой разброса.

Таблица 5. Линеаризация зависимостей периодов от деформации.

Построим графики зависимостей квадратов периодов от соответствующего аргумента (График 3)

График 3. Линеаризация зависимостей.

Из графиков линеаризованных зависимостей хорошо видно, полученные зависимости, во-первых, линейны; во-вторых, описываются одной функцией (в пределах погрешности):

где
для первого типа колебаний

для второго типа колебаний

Таким образом, можно считать, что в пределах погрешностей измерений приведенные формулы правильно описывают экспериментальные данные по зависимостям периодов колебаний первого и второго типа от деформации линейки.

2.6 Из формул (4), (6) следует, что отношение квадратов периодов соответствующих колебаний равно

что позволяет рассчитать радиус кривизны изгиба линейки по формуле

Результаты расчетов приведены в Таблице 6.

Получим уравнение для расчета радиуса кривизны по измерению расстояния между концами линейки. Из рисунка следует, что угол дуги линейки (в предположении, что это дуга окружности) может быть представлен в виде:
из длины дуги ; (где - длина линейки);
из треугольника ,
Разделив эти уравнения друг на друга, получим уравнение для определения угла :

Решить это уравнение можно численно (причем это решение требует достаточно громоздких расчетов). Найдя угол , можно рассчитать искомое значение радиуса кривизны .

В Таблице 6 и на графике 4 показаны результаты расчетов радиуса кривизны по измеренным периодам колебаний () и по измерению расстояния между концами изогнутой линейки ()

Таблица 6.

Полученные результаты свидетельствуют, что данные, полученные двумя способами близки друг к другу, причем результаты ближе друг другу при больших изгибах (т.е. при меньших ). В нашем случае изогнутую линейку можно считать дугой окружности при .

Радиус кривизны можно также приближенно найти геометрическими построениями. Для этого к профилю линейки необходимо построить две касательных в точках и (близкие к середине линейки) - и , восстановить к ним перпендикуляры. Точка их пересечения будет являться центром кривизны. Такие построения для см дали результат см, что хорошо согласуется с рассчитанными данными.