1. Небольшую тележку (Рис. 1) массой кг подтягивают легкой нерастяжимой нитью к неподвижному блоку по горизонтальной поверхности. Известно, что механизм (например, лебёдка) вытягивает нить с постоянной скоростью . Найдите ускорение тележки в момент, когда нить образует угол с горизонтом (см. Рис. 1). Блок расположен на высоте от горизонтальной поверхности. Известно, что при движении тележка не отрывается от горизонтальной поверхности.

2. Найдите силу натяжения нити в данный момент. Трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь.

3. Найдите мощность , развиваемую лебедкой в данный момент.

4. Вычислите по полученным формулам ускорение , силу , мощность при следующих значениях параметров системы: , м, .

Решение:

1. Для нахождения мгновенной скорости тележки используем метод малых перемещений.

Пусть за малый промежуток времени тележка сместится вправо по горизонтали на расстояние . При этом длина нити уменьшится на величину . Из соответствующего прямоугольного треугольника получаем (на Рис. ) Из (1) находим зависимость скорости тележки от угла Поскольку ускорение есть производная от скорости по времени, продифференцируем (2) по времени, как сложную функцию, учитывая, что угол тоже зависит от времени (Рис. 2)

По правилам дифференцирования сложной функции получим где – угловая скорость вращения нити в данный момент времени.

Угловую скорость несложно найти, раскладывая скорость тележки на нормальную (перпендикулярно нити) и тангенциальную (вдоль нити) компоненты Подставляя (5) в (4), получаем ускорение тележки Расчет дает Заметим, что (7) с необходимым количеством значащих цифр можно получить и без производных, используя метод, изложенный в задаче 9-2 «Среднее ускорение». Однако с использованием производных решение выходит гораздо короче.

2. Тележку разгоняет только проекция силы натяжения нити (трения нет), поэтому второй закон Ньютона примет вид Из (8) найдем Расчет дает

3. Мощность силы можно посчитать по известной формуле для горизонтального участка нити Расчет дает Заметим, что (10) и (12) с необходимым количеством значащих цифр можно получить и без производных, используя метод, изложенный в задаче 10-2 «Средняя мощность». Однако с использованием производных решение выходит гораздо короче.

4. Расчеты по полученным формулам дают следующие результаты.

11-3. «Вокруг диполя»

В электродинамике часто используются модель диполя (Рис. 1), представляющая собой два близко расположенных одинаковых по модулю точечных заряда разных знаков.

В качестве реальной модели диполя рассмотрим небольшие заряженные шарики, закрепленные на тонком непроводящем стержне. Электрические заряды шариков равны по модулю и противоположны по знаку (см. Рис. 1), т.е. равны и , соответственно, где .

Будем считать, что заряженные шарики закреплены на жестком стержне длины , а все свойства диполя рассматриваются на достаточно больших расстояниях () от его центра.

Диполь принято характеризовать вектором дипольного момента , величина которого равна , а направление выбирается вдоль оси диполя от его отрицательного заряда к положительному (см. Рис. 1).

Несмотря на то, что суммарный заряд диполя равен нулю, он создает в пространстве вокруг себя отличное от нуля электростатическое поле, которое несложно посчитать школьными методами.

В данной задаче рассмотрим возможность движения заряженной частицы вокруг диполя по окружности.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы:* скалярное произведение векторов: , где – угол между векторами и ; при малых () справедливо приближенное равенство: ; .

Часть 1. Поле диполя

Рассмотрим электрический диполь (Рис. 2), ориентированный вдоль оси ординат так, что в точке начала координат расположен заряд , а в точке – заряд , соответственно . Расстояние , соответственно, дипольный момент системы .

Перейдем в полярную систему координат, в которой положение произвольной точки в плоскости рисунка (см. Рис. 2) задается расстоянием от начала координат и углом , образованным отрезком с осью ординат . Рассмотрим электростатическое поле диполя в вакууме.

1.1 Найдите потенциал электростатического поля диполя в произвольной точке на достаточном большом удалении от него (). Запишите полученное выражение через скалярное произведение векторов и .

1.2 Разложим напряженность (Рис. 3) поля диполя в точке на сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих и , так, чтобы вектор был направлен вдоль отрезка , а вектор был нормален ему. Определите зависимость радиальной составляющей поля диполя в точке .

1.3 Найдите зависимость угловой составляющей поля диполя в точке .

1.4 Получите формулу для модуля напряженности поля диполя в точке .

1.5 Докажите векторную формулу для напряженности поля диполя с моментом в произвольной точке с радиус-вектором .

Часть 2. Движение вокруг диполя

Частицу массой с положительным зарядом удерживают в точке на оси на расстоянии от центра закрепленного диполя, рассмотренного выше (Рис. 4).

В некоторый момент времени частицу отпускают и она начинает двигаться под действием электростатического поля диполя .

Силой тяжести и силой сопротивления воздуха пренебречь.

2.1 По какой траектории будет двигаться частица? Обоснуйте свое предположение и подтвердите его расчетами, выкладками, формулами.

2.2 Найдите зависимость скорости частицы от угла между радиусом и осью (см. Рис. 4).

2.3 Определите максимальную скорость частицы при движении в поле диполя.

2.4 Определите максимальное ускорение частицы при движении в поле диполя.

Возможные решения:

Часть 1. Поле диполя

1.1 Обозначим расстояния от зарядов и до точки через и , соответственно (Рис. 1). Изобразим диполь на рисунке более крупно, чтобы из геометрических построений заметить, что при больших расстояниях длина дуги близка к длине катета Согласно принципу суперпозиции потенциалов электростатических полей искомый потенциал точки можем записать как сумму потенциалов двух точечных зарядов Из (2) и (1) получим потенциал диполя на значительном расстоянии Следовательно, в пределе искомое выражение для потенциала электростатического поля диполя примет вид где – дипольный момент системы. Интересно, что, согласно (4), потенциал электростатического поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда . Если использовать математическую подсказку и рассмотреть скалярное произведение векторов то выражение для потенциала (4) можно переписать в «векторном» (достаточно удобном для запоминания) виде для произвольной точки пространства с радиус-вектором

1.2 Согласно принципу суперпозиции электрических полей напряжённость поля диполя в точке может быть представлена различными способами Векторы и от зарядов и образуют практически развернутый угол , поскольку при угол мал, и оба эти вектора ориентированы практически вдоль отрезка . Но вектор «немного длиннее», поэтому модуль радиальной составляющей равен разности их модулей Раскрывая скобки, преобразуем (8) к виду, пренебрегая бесконечно малым слагаемым более высокого порядка, т.к. Далее используем математическую подсказку

тогда (9) примет вид

Из (11) следует, что по мере увеличения угла величина убывает, и при (т.е. на оси ) становится равной нулю. Далее () (11) принимает отрицательные значения, т.е. напряженность поля поменяет свое направление (к диполю).

1.3 Для нахождения угловой составляющей поля диполя запишем для малого угла равенство

Соответственно, для малых углов длину хорды в векторном треугольнике (7) также можно заменить на длину дуги, т.е.

Заметим, что (11) и (13) можно получить быстрее, взяв производные (со знаком «минус») от потенциала (4) по соответствующим направлениям.

1.4 По теореме Пифагора получим для модуля напряженности диполя

1.5 Для доказательства приведенной в условии формулы введем взаимно перпендикулярные единичные векторы и , направленные вдоль отрезка и перпендикулярно ему.

С учетом (5) перепишем (11) в векторном виде, не привязанном к какой-либо системе координат. Тогда получим

Поступая аналогично с (13), следует выразить как разность уже известных векторов прямоугольного треугольника на Рис. 3 в условии

Тогда вектор напряженности поля диполя будет равен

Объединяя (15) и (16), получаем искомое векторное выражения для поля диполя в произвольной точке пространства

Часть 2. Движение вокруг диполя

2.1 В точке старта на частицу будет действовать угловая составляющая напряженности электрического поля диполя, которая сдвинет его с места и начнет разгонять.

В свою очередь, радиальная составляющая поля, направленная в начало координат, начнет поворачивать вектор скорости частицы. Вследствие этого, траектория частицы уже не будет прямой, а будет представлять собой некую кривую.

Предположим, что эта кривая будет дугой окружности радиуса , центр которой находится в центре диполя (начале координат).

Обоснуем наше предположение. Рассмотрим заряд в момент, когда радиус составляет с осью угол (Рис. 2).

Поскольку в этой части задачи удобнее использовать другой угол, то для использования ранее полученных выражений следует учесть, что Для движения по окружности радиуса необходимо выполнение второго закона Ньютона в проекции на радиальное направление (чтобы сила диполя смогла сообщить шарику необходимое центростремительное ускорение). С учетом (11) это условие примет вид Выражая из (20) зависимость скорости от угла, получим Таким образом, для движения частицы по дуге окружности необходимо и достаточно, чтобы её скорость возрастала при уменьшении угла по закону (21).

С другой стороны, изменить модуль скорости частицы может только угловая составляющая электрического поля . Согласно закону сохранения энергии с учетом (4) для этого процесса получим Из (22) найдем скорость частицы при угле Удивительным образом выражения (23) и (21) для скорости частицы совпали. Это значит, что электростатическое поле диполя само, «автоматически» будет разгонять и поворачивать частицу, обеспечивая ей при любом угле (т.е. в любой момент времени) возможность движения по окружности радиуса .

2.2 Как следует из предыдущего пункта решения, искомую зависимость можно находить двумя способами: как из второго закона Ньютона, так и из закона сохранения энергии. Естественно, оба способа приводят к одному и тому же результату

2.3 Из (24) следует, что максимальная скорость частицы достигается при пересечении ею оси , т.е. при

Далее движение частицы будет замедляться, она остановится в точке симметричной точке старта и пойдет «назад», т.е. в системе возникнут негармонические колебания большой амплитуды.

2.4 Максимальное ускорение найдем, используя (20). Как видим, это опять же происходит при . При этом ускорение определяется только радиальной составляющей поля диполя (тангенциальное ускорение исчезает), следовательно