Непостоянный ток — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 9 класс № 2

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: удельная теплоемкость воды $в кДж кг$ .

Сила тока через резистор сопротивлением $Ом$ изменяется со временем так, как показано на графике (Рис. 1). При построении графика для удобства использованы популярные ныне безразмерные координаты («безразмерная» сила тока) и («безразмерное время»), где $А$ , $мин$ -- размерные масштабные множители. Точки на графике зависимости сведены в Таблицу 1.

Таблица 1. Зависимость .

| \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright

\end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,0 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,025 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,05 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,1 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,15 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,2 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,3 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,4 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,5 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,6 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,7 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,8 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,9 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,0 \end{minipage}
	0,00	0,16	0,22	0,32	0,39	0,45	0,55	0,63	0,71	0,77	0,84	0,89	0,95	1,00

Пусть мгновенная мощность тока (тепловыделения) на резисторе . Введем понятие «безразмерной мощности» тока (тепловыделения) на резисторе как .

Рассчитайте безразмерную мгновенную мощность для каждой точки на приведенном графике. Результаты ваших расчетов внесите в Таблицу 2 на Листе ответов.

\setcounter{enumi}{1}

Постройте на Бланке 1 Листа ответов график полученной зависимости . Проанализируйте полученную зависимость, отметьте ее характер и особенности.
Пусть все количество теплоты, выделяемой на резисторе , идет на нагревание воды массой $кг$ . Найдите, на сколько градусов нагреется вода при прохождении тока за промежуток времени $мин$ ? Начальная температура воды .
Через какой промежуток времени вода закипит?

Возможное решение:

9-2. «Непостоянный ток»

Согласно закону Джоуля-Ленца мгновенная тепловая мощность тока на резисторе равна

. (1)

Соответственно, «безразмерная мощность» тепловыделения на резисторе (согласно условию)

. (2)

Таким образом, в выбранных координатах безразмерная мощность «фактически» есть квадрат безразмерной силы тока !

После такого «открытия», вооружившись инженерным калькулятором (рекомендован к использованию на олимпиаде, поскольку позволяет проводить подобные расчеты достаточно быстро), достаточно быстро рассчитаем безразмерную мощность для каждой точки графика. Результаты расчетов внесем в Таблицу 2.

Таблица 2.

| \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright

\end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,0 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,025 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,05 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,1 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,15 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,2 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,3 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,4 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,5 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,6 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,7 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,8 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,9 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,0 \end{minipage}
	0,00	0,16	0,22	0,32	0,39	0,45	0,55	0,63	0,71	0,77	0,84	0,89	0,95	1,00
	0,00	0,0256	0,484	0,1024	0,1521	0,2025	0,3025	0,3969	0,5041	0,5929	0,7056	0,7921	0,9025	1,00

\setcounter{enumi}{1}

Построим по точкам Таблицы 2 график полученной зависимости на выданном бланке (Рис. 1).

Из правильно построенного графика следует еще одно «интересное открытие» -- зрительно рассчитанные точки достаточно неплохо (можно сказать отлично!) ложатся на прямую (доверяй калькулятору!), проходящую через начало координат.

С приемлемой точностью этот же вывод следует и из анализа Таблицы 2, однако графический метод быстр, убедителен и нагляден. Наблюдательность на олимпиаде в цене!

Кроме того, эта прямая («на глаз») является биссектрисой первого координатного угла (). Это обстоятельство также упрощает нахождение «безразмерного» количества выделенной в цепи теплоты, как площади соответствующей фигуры под построенным графиком.

Иными словами, можно сначала найти площадь прямоугольного треугольника «под графиком» за требуемый промежуток времени, и далее получить «размерное» количество теплоты.

\setcounter{enumi}{2}

Из выше полученного графика (и из графика в условии) следует, что мгновенная мощность тока в цепи изменяется. В таком случае традиционная формула Джоуля-Ленца «не работает», поскольку непонятно, какое значение мощности «следует брать».

Следовательно, необходимо использовать метод разбиений (Ньютона), при котором данный процесс рассматривается на достаточно малых (бесконечно малых) временных интервалах (промежутках) .

На малом временном интервале можно считать, что мгновенная мощность остается практически постоянной (пренебрегаем её изменением), тогда закон Джоуля-Ленца опять «работает».

При таком подходе малое количество выделившейся теплоты за промежуток будет равно

. (3)