1. В стационарном режиме плотность теплового потока остается постоянной во всех точках внутри пластины
   
   Из этого условия следует, что температура внутри пластины изменяется по линейному закону. Учитывая значения температур на противоположных сторонах пластины, можно записать
   
   

   

2. Пусть для определенности . Тогда до установления стационарного режима пластинка площади должна поглотить количество теплоты
   
   Для получения оценки характерного времени установления теплового равновесия примем, что тепловой поток от более нагретой стороны пластины равен потоку в стационарном режиме, тогда за время пластинка получит количество теплоты, равное
   

Приравнивая эти выражения, получим оценку времени установления равновесия

Подставляя численные характеристики льда, получим .

1. При замерзании (кристаллизации) льда выделяется некоторое количество теплоты, которое должно быть перенесено через имеющийся слой льда в окружающий воздух.
   

   

   Будем считать, что в любой момент времени при любой толщине льда распределение температуры внутри льда соответствует стационарному (справедливость этого предположения оценим далее). Пусть за малый промежуток времени толщина льда увеличилась на величину , тогда уравнение теплового баланса будет иметь вид
   
   где разность температур между нижней и верхней границей льда.

Учитывая, что для малых интервалов из уравнения (6) получим

Сравнивая это выражение с оценкой времени установления стационарного теплового потока (5), найдем отношение характерного времени установления стационарного режима ко времени намерзания . Как следует из этого, время намерзания более чем на порядок превышает время установления стационарного режима, что обосновывает сделанное приближение о квазистационарном потоке через толщу льда. Из соотношения (7) находим зависимость толщины льда от времени

Подстановка численных значений приводит к результату

Из уравнений (10)-(11) с учетом начальных условий получим соотношение

из которого определим закон изменения толщины льда

и время плавления слоя льда

4. Так как нагрев воды осуществляется снизу, то благодаря конвекции, происходит ее быстрое перемешивание, поэтому можно считать, что температура воды одинакова во всех точках, обозначим эту температуру . В такой ситуации теплота, поступающая от нагретой плиты, расходуется на плавление льда и нагрев образующейся талой воды. Уравнения теплового баланса для малого промежутка времени в этом случае имеют вид ( - по-прежнему изменение толщины льда за этот промежуток времени)


Избавляясь от скорости плавления , получим уравнение для определения температуры воды

из которого находим температуру воды , которая оказывается постоянной. Следовательно, и скорость плавления льда также постоянна

Поэтому толщина льда будет изменяться по линейному закону

а время плавления рассчитывается по формуле