Решение

Республиканская олимпиада 2010 9 класс № Э2

Во всех экспериментах использовались следующие значения параметров: расстояние от оси стержня до точки подвеса грузов мм, расстояние от оси стержня до измерительной линейки мм. Угол кручения рассчитывался по формуле где - изменение высоты подъема стрелки при нагрузке.

Часть 1. Закон Гука.

В Таблице 1 приведены измеренные значения при максимальной длине деформируемой части стержня мм.

Таблица 1. Зависимость угла кручения от нагрузки ( - числа гвоздей в стакане)

(гвоздь) при нагрузке при разгрузке
мм мм
0 0 0,000 12 0,043
1 9 0,032 23 0,082
2 19 0,068 33 0,118
3 29 0,104 43 0,154
4 39 0,139 54 0,193
5 50 0,179 62 0,221
6 60 0,214 71 0,254
7 70 0,250 80 0,286
8 80 0,286 88 0,314
9 90 0,321 95 0,339
10 100 0,357 100 0,357

На рисунке представлен график полученной зависимости.

Как видно, при нагрузке (при последовательном увеличении нагрузки) угол кручения прямо пропорционален приложенной нагрузке, то есть закон Гука выполняется.

При последовательном уменьшении нагрузки (при разгрузке) наблюдается некоторое «отставание» угла кручения от уменьшающейся нагрузки, что, очевидно связано с наличием остаточных деформаций в стержне.

Для определения коэффициента пропорциональности предпочтительнее воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК), либо провести обработку линейной зависимости графически.

В данном случае коэффициенты линейной зависимости рассчитанные по МНК, оказались равными

радиангвоздь рад Так как коэффициент оказался близким к нулю, а погрешность коэффициента около , то можно считать, что зависимость прямо пропорциональная, что еще раз подтверждает применимость закона Гука в данном случае.

Для расчета коэффициента пропорциональности в формуле закона Гука, необходимо произвести пересчет (масса одного гвоздя г) м м Окончательно, получаем значения коэффициента м Смысл коэффициента – угол кручения, при единичном приложенном моменте сил.

Часть 2. Коэффициент пропорциональности.

В Таблице 2 приведены измеренные значения углов кручения стержня в зависимости от приложенной нагрузки (в гвоздях) и для различных длин деформируемой части стержня (в мм). В предпоследней строке приведены значения коэффициента ( - для экономии места), которые нами рассчитаны по МНК, хотя их значения можно снять по графику, который приведен ниже.

Таблица 2. Зависимости угла кручения от нагрузки при разных длинах деформируемой части стержня.

78 68 58 48 38 28 18
0 0 0,000 0 0,000 0 0,000 0 0,000 0 0,000 0 0,000 0 0,000
1 9 0,032 9 0,032 5 0,018 6 0,021 4 0,014 3 0,011 4 0,014
2 19 0,068 17 0,061 13 0,046 11 0,039 10 0,036 6 0,021 7 0,025
3 29 0,104 26 0,093 21 0,075 19 0,068 16 0,057 11 0,039 11 0,039
4 39 0,139 36 0,129 30 0,107 26 0,093 22 0,079 16 0,057 14 0,050
5 50 0,179 47 0,168 38 0,136 34 0,121 28 0,100 19 0,068 17 0,061
6 60 0,214 57 0,204 46 0,164 41 0,146 34 0,121 23 0,082 20 0,071
7 70 0,250 66 0,236 55 0,196 49 0,175 41 0,146 28 0,100 23 0,082
8 80 0,286 76 0,271 64 0,229 57 0,204 48 0,171 33 0,118 26 0,093
9 90 0,321 85 0,304 73 0,261 66 0,236 54 0,193 38 0,136 30 0,107
10 100 0,357 94 0,336 82 0,293 77 0,275 61 0,218 42 0,150 33 0,118
3,60 3,42 2,98 2,72 2,21 1,53 1,15
7,34 6,97 6,08 5,55 4,51 3,12 2,34

Из графика видно, что при всех длинах деформируемой части стержня приближенно наблюдается прямо пропорциональная зависимость. В последней строке приведены результаты расчетов коэффициента пропорциональности ()

График 2. Зависимости угла кручения от нагрузки (для разных длин стержня)

Наконец, строим график зависимости коэффициента пропорциональности в формуле закона Гука от длины деформируемой части стержня. Из этого графика видно, что при небольших длинах этот коэффициент пропорционален длине свободной части стержня, отсюда можно сделать вывод, что показатель степени в формуле равен единице: что также следует из теории упругости. Возможно, что последние точки отклонились от прямой, из-за того, что угол кручения перестал быть малым, и следовало бы рассчитывать угол с помощью арктангенса – но только этого еще не хватало!

Примечания

  1. 1. , , Вэтойчастинеприведеныданныевтабличномвидетолькодляэкономииместавсерезультаты представлены на графиках. От участников олимпиады не требуется такого большого числа точек – достаточно 15-20 точек, но в приведенном здесь интервале напряжений. ↩
← Условие Режим тренировки →

Оригинал в архиве олимпиады