Скатывание по склону — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2012 9 класс № Э1

Часть 1.

Для экспериментального изучения закона движения удобно засекать времена , когда ось диск проходит отметку координаты .

Результаты измерений времен прохождения отметок представлены в таблице 1 (для разности уровней мм). На графике 1 показан закон движения оси диска.

Таблица 1. Изучение закона движения для мм.

	, мм	, с	, $мм с$	$с р$ , с	, $мм с$
0	0
1	50	3,41	14,66
2	100	6,05	16,53	4,73	18,94
3	150	8,29	18,09	7,17	22,32
4	200	10,33	19,36	9,31	24,51
5	250	12,14	20,59	11,24	27,62
6	300	13,84	21,68	12,99	29,41
7	350	15,40	22,73	14,62	32,05
8	400	16,98	23,56	16,19	31,65
9	450	18,50	24,32	17,74	32,89
10	500	20,02	24,98	19,26	32,89

График не является прямой линией, поэтому движение не может считаться равномерным.

Построим график зависимости средней скорости от времени. Причем среднюю скорость рассчитываем на интервале по формуле (результаты расчетов представлены в таблице 1):

При равноускоренном движении, проходящем по закону

данная средняя скорость должна линейно зависеть от времени

График показывает, что, строго говоря, движение не является равноускоренным, так как полученная зависимость не является линейной.
.
На данном же графике видно, что со временем средняя скорость возрастает медленнее, чем по линейному закону – сказывается влияние силы сопротивления воздуха.

Нескольку лучший результат (в смысле приближенности к равноускоренному движению) получается, если времена и координаты отсчитывать от первой (а не нулевой отметки) – в этом случае участок, который можно приближенно отнести к равноускоренному движению больше (6 начальных точек хорошо ложатся на прямую линию).

Получим формулу для расчета средней скорости на интервале пути. Для этого запишем выражения для пройденных путей при равноускоренном движении

И вычтем первое равенство из второго:

Из этой формулы следует выражение для средней скорости на интервале пути

$с р$

Из этого выражения следует, что данную среднюю скорость необходимо рассматривать в зависимости от среднего арифметического времен прохождения концов интервала. Результаты расчетов также приведены в таблице 1. График зависимости показан на рис. 3. На этой зависимости участок равноускоренного движения выражен более четко, однако разброс точек более заметен, что связано с большими погрешностями при расчете разностей времен.

Интересно отметить, что расчет ускорения по зависимости 3 дает значение $мм с$ , по графику 2 $мм с$ .*

Тем самым приходим к выводу, что оптимальным способом расчета ускорения является изучение зависимости средней интервальной скорости от времени. Т.е. по изучению зависимости (6).

Часть 2.

Результаты времен прохождения отметок приведены в Таблицах 2 -3, там же приведены результаты расчетов ускорений (по наклону графика) для различных разностей высот крепления нитей. Графики полученных зависимостей показаны на рис. 4

Отметим, что на основании подробного анализа результатов для мм достаточно было для каждой разности высот снять показания для 4 точек. Также допустимо рассчитывать ускорения алгебраически «по трем точкам» по формуле, которая следует из формулы (6):

$с р с р$

*Расчеты дают близкие результаты, но их точность ниже.

Для получения вполне приличного результата достаточно провести измерения для трех углов наклона.*

Таблица 2. Измерения ускорений.

|---|---|---|---|
| | | | |

	, $мм$	, $с$	$с р$ , $с$	, $мм с$	, $с$	$с р$ , $с$	, $мм с$	, $с$	$с р$ , $с$	, $мм с$
0	0	0			0			0
1	50	5,96			5,29			4,63
2	100	11,23	8,60	9,49	9,36	7,33	12,29	7,82	6,23	15,67
3	150	16,29	13,76	9,88	12,93	11,15	14,01	10,55	9,19	18,32
4	200	21,15	18,72	10,29	16,32	14,63	14,75	13,08	11,82	19,76
5	250	25,87	23,51	10,59	19,39	17,86	16,29	15,18	14,13	23,81
6	300	30,93	28,40	9,88	22,45	20,92	16,34	17,3	16,24	23,58
7	350	35,66	33,30	10,57	25,28	23,87	17,67	19,21	18,26	26,18
8	400	40,90	38,28	9,54	27,99	26,64	18,45	21,12	20,17	26,18
9	450	46,77	43,84	8,52	30,76	29,38	18,05	22,94	22,03	27,47
10	500	53,57	50,17	7,35	33,57	32,17	17,79	24,77	23,86	27,32
$мм с$	0,08			0,36			0,87

Таблица 2. Измерения ускорений.

	, $мм$	$мм$			$мм$
		, $с$	$с р$ , $с$	, $мм с$	, $с$	$с р$ , $с$	, $мм с$
0	0	0			0
1	50	3,41			2,79
2	100	6,05	4,73	18,94	5,03	3,91	22,32
3	150	8,29	7,17	22,32	6,84	5,94	27,62
4	200	10,33	9,31	24,51	8,54	7,69	29,41
5	250	12,14	11,24	27,62	10	9,27	34,25
6	300	13,84	12,99	29,41	11,43	10,72	34,97
7	350	15,4	14,62	32,05	12,71	12,07	39,06
8	400	16,98	16,19	31,65	14,03	13,37	37,88
9	450	18,5	17,74	32,89	15,26	14,65	40,65
10	500	20,02	19,26	32,89	16,49	15,88	40,65
$мм с$	1,30			1,95

График 4. Измерение ускорений
График 5. Зависимость ускорения от разности высот
График зависимости ускорения от разности высот точек крепления показан на рис. 5. Как и в случае поступательного движения тела по наклонной плоскости, ускорение пропорционально синусу угла наклона, поэтому зависимость ускорения от разности высот линейная. Наличие постоянной составляющей может быть объяснено присутствием почти постоянной силы трения качения, которая в данном случае может быть заметна из-за неизбежного прогиба нитей.

Аналитически данная зависимость описывается формулой

где , .

В заключение укажем, что теоретическое значение ускорения оси диска описывается формулой

где , - радиусы диска и его оси, соответственно, - длина нитей. В нашей установке теоретическое значение параметра $мм мм$ , что близко к найденному значению.

Часть 1. Изучение вольтамперной характеристики таблетки.

1.1

1.1 Для измерения массы линейки можно использовать правило рычага. Для этого на конец линейки следует поместить гирьку массой г и уравновесить линейку на упоре (в качестве которого можно использовать край стола).
Условие равновесия линейки с гирькой имеет вид

где - расстояния от центра гирьки до упора, , - длина и масса линейки.
Из уравнения (1) следует, что масса линейки рассчитывается по формуле

По результатам измерений: см, см, г. По этим данным масса линейки равна
$г$
Погрешность определена по методу границ.

1.2

1.2 Рассчитаем на каком расстоянии следует расположить гирьку массы , чтобы на таблетку со стороны линейки действовала сила давления . Здесь и далее будем использовать следующие обозначения:

- расстояние от скобы до центра таблетки;

- расстояние от скобы до центра гирьки.
По третьему закону Ньютона на линейку со стороны таблетки действует сила

равная по модулю силе давления на таблетку

. Поэтому условие равновесия линейки имеет вид

Откуда следует, что место гирьки можно рассчитать по формуле

Для измерений необходимо использовать гирьку массой

г. Для создания нагрузки

Н гирька должна располагаться на расстоянии

см, а для нагрузки

Н на расстоянии

см.
Для измерения вольтамперной характеристики следует измерить: напряжение

на резисторе с известным сопротивлением

Ом и напряжение

на таблетке. Сила тока рассчитывается по формуле

Результаты измерений, а также результаты расчетов силы тока приведены в Таблицах 1 и 2 (для различных сил давления).

Таблица 1. .

, В	0,00	0,20	0,40	0,60	0,80	1,00	1,20	1,40	1,60
, В	0,00	0,28	0,58	0,83	1,11	1,38	1,64	1,93	2,17
, мА	0,0	2,0	4,0	6,0	8,0	10,0	12,0	14,0	16,0

Таблица 2. .

, В	0,00	0,20	0,41	0,62	0,81	1,00	1,21	1,41	1,60	1,80	1,92
, В	0,00	0,19	0,39	0,59	0,77	0,95	1,13	1,32	1,49	1,64	1,80
, мА	0,0	2,0	4,1	6,2	8,1	10,0	12,1	14,1	16,0	18,0	19,2

Графики полученных зависимостей показаны ниже.

Графики показывают, что с высокой точностью сила тока пропорциональна напряжению, то есть закон Ома выполняется.

Сопротивления таблетки при разных нагрузках следует определять по наклону графиков

Понятно, что основную погрешность в определении сопротивления вносит приборная погрешность известного сопротивления, поэтому относительная погрешность измеренных сопротивлений также будет равна 5%.

Из построенных графиков находим:

при нагрузке $Н$ $Ом$ ;