1.2.1 В трубке останется воздух. При уменьшении температуры воздух начнет сжиматься, а вода частично заходить в трубку. При этом будет уменьшаться сила Архимеда, Следовательно, ареометр начнет опускаться.
Изменение объема воздуха описывается формулой (2), на основании которой можно записать

Чтобы сила Архимеда осталось прежней, ареометр должен погрузиться на такую глубину, чтобы объем его погруженной части остался неизменным. Из этого условия следует

Приравнивая эти выражение, получим

Отметим, что в этом случае можно пренебречь тепловым расширением воды.

1.2.2 При закрытой трубке основной причиной изменения глубины погружения будет изменение плотности воды. Так как при остывании ее плотность будет увеличиваться, то ареометр начнет всплывать.
Изменение плотности воды можно выразить через коэффициент объемного расширения. Возьмем порцию воды некоторой постоянной массы. Так как масса при нагревании не изменяется, то можно записать

Здесь - объем выбранной порции, - ее плотность при некоторой начальной температуре, - их изменение при изменении температуры.
Раскрывая скобки и пренебрегая малой величиной , получим

Знак минус указывает, что при увеличении объема плотность уменьшается и наоборот.
Так как масса ареометра не изменяется, то остается неизменной сила Архимеда, следовательно,

Уравнение совпадает уравнением (4), но смысл его другой: - объем погруженной части ареометра при начальной температуре, который можно считать равным объему баллона; - плотность при этой температуре, - изменение плотности воды;

• изменение объема погруженной части (знак минус указывает, что при увеличении объем погруженной части уменьшается).
  Из уравнения (6) следует
  
  Подставляя выражения 95) и (7) получим