Зона застоя — режим тренировки

Решено

1.1 Покажите, что проекция суммарной силы упругости, действующая на шайбу, при ее смещении на величину определяется по формуле

где - постоянный коэффициент, который далее мы будем называть жесткость установки.

Решено

1.2 Выразите жесткость установки через значения жесткости обеих пружин , .

Решено

1.3 Покажите, что изменение потенциальной энергии пружин при смещении шайбы на величину может быть рассчитано по формуле

независимо от начальных деформаций пружин в положении равновесия и .

Наличие трения приводит к тому, что существует интервал координат , в пределах которой шайба может находиться в покое. Эта область называется зоной застоя. Назовем величину - полушириной зоны застоя.

Решено

1.4 Выразите полуширины зоны застоя через жесткость установки , массу шайбы и коэффициент трения .

Если шайбу вывести из положения равновесия и отпустить, то она начнет двигаться вдоль линейки до остановки, при этом она может несколько раз изменить направление движения (совершать затухающие колебания). Обозначим координату начального положения шайбы , а координату ее окончательной остановки .

1.4 Очевидно, что функция является нечетной: при изменении знака начальной координаты изменяется знак координаты точки остановки. Поэтому достаточно рассмотреть случай . Если начальная координата лежит в зоне застоя , то шайба не сдвинется с места, поэтому в этой области

Рассмотрим случай, когда

.
Запишем уравнения закона сохранения энергии между начальным и конечным положением шайбы (изменение потенциальной энергии пружины равно работе силы трения):

Из этого уравнения следует, что

Т.е. отклонение от положения равновесия уменьшается на ширину зоны застоя

. Это соотношение можно записать в виде

Это выражение показывает, что точка остановки зеркально отражает начальную точку относительно границы зоны застоя. Поэтому при построении графика можно провести такое же отражение!

Формула (11) будет справедлива до тех пор, пока координата точки остановки не станет меньше левой границы зоны застоя

, или что равносильно

.
Если начальная координата превысит это значение

, то шайба в процессе движения проскочит зону застоя и остановится в некоторой точке с координатой

. После этого она начнет движение в противоположном направлении. Не повторяя проведенных рассуждений, заметим, что координата следующей остановки зеркально отразится относительно левой границы зоны застоя. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока очередная точка остановки не окажется в зоне застоя.
Таким образом, теоретический график зависимости координаты точки окончательной

остановки шайбы от ее начальной координаты представляет собой ломаную линию, показанную на рисунке. На графиках по осям отложены значения .

Решено

1.5 Постройте график зависимости координаты остановки шайбы от ее начального положения . При построении этого графика считайте известной только величину (полуширину зоны застоя).
Получать общую формулу для зависимости не требуется.

Решено

1.1 Доказательство формулы (1)

Решено

1.2 Жесткость установки

Решено

1.3 Доказательство формулы (2)

Решено

1.4 Полуширина зоны застоя (вывод формулы)

1.4 Очевидно, что функция является нечетной: при изменении знака начальной координаты изменяется знак координаты точки остановки. Поэтому достаточно рассмотреть случай . Если начальная координата лежит в зоне застоя , то шайба не сдвинется с места, поэтому в этой области

Рассмотрим случай, когда

.
Запишем уравнения закона сохранения энергии между начальным и конечным положением шайбы (изменение потенциальной энергии пружины равно работе силы трения):

Из этого уравнения следует, что

Т.е. отклонение от положения равновесия уменьшается на ширину зоны застоя

. Это соотношение можно записать в виде

Это выражение показывает, что точка остановки зеркально отражает начальную точку относительно границы зоны застоя. Поэтому при построении графика можно провести такое же отражение!

Формула (11) будет справедлива до тех пор, пока координата точки остановки не станет меньше левой границы зоны застоя

, или что равносильно

.
Если начальная координата превысит это значение

, то шайба в процессе движения проскочит зону застоя и остановится в некоторой точке с координатой

. После этого она начнет движение в противоположном направлении. Не повторяя проведенных рассуждений, заметим, что координата следующей остановки зеркально отразится относительно левой границы зоны застоя. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока очередная точка остановки не окажется в зоне застоя.
Таким образом, теоретический график зависимости координаты точки окончательной

остановки шайбы от ее начальной координаты представляет собой ломаную линию, показанную на рисунке. На графиках по осям отложены значения .

Решено

1.5 Построение схематического графика (расчеты и вид графика)

Решено

2.1 Проведите необходимые измерения, на основании которых определение численные значения следующих характеристик установки:

координату точки равновесия ;
полуширину зоны застоя ;
жесткость установки ;
коэффициент трения .

Укажите, как Вы проводили измерения, какие величины непосредственно измеряли, по каким формулам рассчитывали параметры установки, полученные численные значения, оценку погрешности ваших измерений. Можете предложить (и обязательно реализовать) несколько методов определения этих величин. Порядок измерения параметров остановки может определять самостоятельно. Рекомендуется координаты точек измерять в мм.

2.1 Масса шайба равна $г$ .

Измерения параметров установки можно проводить различными способами, но во всех экспериментах непосредственно измеряются координаты центра шайбы. Поэтому приборная погрешность этих измерений может быть принята равной цене деления линейки
$п р мм$
Наличие случайной ошибки может увеличить полную погрешность

Предлагается следующая последовательность проведения измерений.
Располагаем прибор горизонтально и, смещая шайбу по линейке находим границы зоны застоя (т.е. предельные положения шайбы, когда она может находиться в положении равновесия):
$мм мм$
Точка положения равновесия находится на середине зоны застоя, поэтому ее координата равна
$мм$
Полуширина зоны застоя равна
$мм$
Располагаем прибор вертикально, измеряем смещение шайбы относительно положения равновесия $мм мм$ . Затем по формуле, следующей из условия равновесия шайбы, рассчитываем коэффициент жесткости
$Н м$
Примечание. Можно попытаться измерить смещения шайбы при двух вертикальных положениях. По этим измерениям найти координату точки равновесия (по формуле аналогичной (15)), а затем рассчитать коэффициент жесткости. Однако в таком эксперименте возможно, что короткая пружина полностью сожмется, что сделает второе измерение невозможным.

Коэффициент трения можно рассчитать, зная границы зоны застоя и найденное значение жесткости установки

Примечание. Допустимо проведение экспериментов с наклонным положением прибора.

Решено

2.1 Измерение параметров установки.
Для каждого из указанных параметров (, , , ), кратко укажите: какие величины Вы измеряли, результаты измерений, расчетные формулы, численные значения параметров. Проведите необходимые измерения, на основании которых определены численные значения следующих характеристик установки.

Заключительный этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика» 2023-2024 учебный год

2.1 Масса шайба равна $г$ .

Измерения параметров установки можно проводить различными способами, но во всех экспериментах непосредственно измеряются координаты центра шайбы. Поэтому приборная погрешность этих измерений может быть принята равной цене деления линейки
$п р мм$
Наличие случайной ошибки может увеличить полную погрешность

Предлагается следующая последовательность проведения измерений.
Располагаем прибор горизонтально и, смещая шайбу по линейке находим границы зоны застоя (т.е. предельные положения шайбы, когда она может находиться в положении равновесия):
$мм мм$
Точка положения равновесия находится на середине зоны застоя, поэтому ее координата равна
$мм$
Полуширина зоны застоя равна
$мм$
Располагаем прибор вертикально, измеряем смещение шайбы относительно положения равновесия $мм мм$ . Затем по формуле, следующей из условия равновесия шайбы, рассчитываем коэффициент жесткости
$Н м$
Примечание. Можно попытаться измерить смещения шайбы при двух вертикальных положениях. По этим измерениям найти координату точки равновесия (по формуле аналогичной (15)), а затем рассчитать коэффициент жесткости. Однако в таком эксперименте возможно, что короткая пружина полностью сожмется, что сделает второе измерение невозможным.

Коэффициент трения можно рассчитать, зная границы зоны застоя и найденное значение жесткости установки

Примечание. Допустимо проведение экспериментов с наклонным положением прибора.

Решено

3.1 Отклоните шайбу на некоторое расстояние от положения равновесия (обозначьте начальную координату ) и отпустите. Измерьте координату точки остановки . Если в процессе движения шайба совершает несколько промежуточных остановок (т.е. совершает затухающие колебания), то измерьте координаты всех точек промежуточных остановок

Результаты измерений занесите в Таблицу 1 в Листах ответов. Измерения проведите с шагом изменения не более 10 мм.

3.1 Результаты измерений зависимости координаты точки окончательной остановки от начальной координаты приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Результаты измерений

\multicolumn{6}{	c	}{координаты точек (мм)}
						, мм
139	139	139	139	-10	-10	0	0
129	136	136	136	-20	-13	7	0,23
119	141	141	141	-30	-8	22	0,84
109	149	149	149	-40	0	40	1,60
99	160	160	160	-50	11	61	2,38
89	166	162	162	-60	13	81	3,43
79	180	157	157	-70	8	124	4,84
69	188	153	153	-80	4	154	6,38
59	195	147	147	-90	-2	184	8,10
49	205	137	137	-100	-12	224	9,86
39	213	132	132	-110	-17	255	11,81
169	163	163	163	20	14	6	0,20
179	158	158	158	30	9	21	0,82
189	151	151	151	40	2	38	1,60
199	144	144	144	50	-5	55	2,48
209	135	135	135	60	-14	74	3,40
219	123	138	138	70	-11	111	4,78
229	116	144	144	80	-5	141	6,38
239	110	153	153	90	4	172	8,08
249	100	156	156	100	7	205	9,95
259	90	164	164	110	15	243	11,88
269	86	176	163	120	14	286	14,20
279	77	180	169	130	20	316	16,50
289	65	190	156	140	7	383	19,55
299	57	200	148	150	-1	437	22,50
309	48	210	142	160	-7	491	25,55
319	39	218	134	170	-15	543	28,68

В таблице приведены:
- начальная координата шайбы по шкале линейки;
, - координаты промежуточных остановок (если они есть) по шкале линейки;
- координата окончательной остановки по шкале линейки;
, - координаты начальной и конечной точек относительно положения равновесия :

Решено

3.2 Постройте график полученной экспериментальной зависимости .

Решено

3.3 Сравните полученный график теоретической зависимостью:

укажите наиболее существенные различия, укажите возможные причины полученных расхождений.

Решено

3.4 Рассчитайте максимальное ускорение, с которым двигалась шайба в ваших экспериментах

Решено

3.5 Для каждого значения рассчитайте, какой путь прошла шайба до полной остановки и изменение энергии пружины в относительных единицах .

Решено

3.6 Постройте график зависимости изменения потенциальной энергии пружин (в относительных единицах ) от пути пройденного шайбой.

Используйте все полученные экспериментальные данные. При расчетах не используйте значения жесткости и коэффициент трения *. Поэтому вам необходимо придумать величину пропорциональную энергии пружины, которую можно рассчитать на основе измерений координат. Результаты расчетов занесите в последние столбцы Таблицы 1.*

Решено

3.7 Используя полученный график, рассчитайте численное значение величины .

Укажите смысл этой величины. Укажите, согласуются ли результаты этого эксперимента с результатами предыдущих экспериментов.

Листы ответов

Экспериментальное задание. Зона застоя

Решено

3.1 Результаты измерений точек остановки.

Таблица 1. Результаты измерений

координаты точек (мм)	S, мм	Δ

3.1 Результаты измерений зависимости координаты точки окончательной остановки от начальной координаты приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Результаты измерений

\multicolumn{6}{	c	}{координаты точек (мм)}
						, мм
139	139	139	139	-10	-10	0	0
129	136	136	136	-20	-13	7	0,23
119	141	141	141	-30	-8	22	0,84
109	149	149	149	-40	0	40	1,60
99	160	160	160	-50	11	61	2,38
89	166	162	162	-60	13	81	3,43
79	180	157	157	-70	8	124	4,84
69	188	153	153	-80	4	154	6,38
59	195	147	147	-90	-2	184	8,10
49	205	137	137	-100	-12	224	9,86
39	213	132	132	-110	-17	255	11,81
169	163	163	163	20	14	6	0,20
179	158	158	158	30	9	21	0,82
189	151	151	151	40	2	38	1,60
199	144	144	144	50	-5	55	2,48
209	135	135	135	60	-14	74	3,40
219	123	138	138	70	-11	111	4,78
229	116	144	144	80	-5	141	6,38
239	110	153	153	90	4	172	8,08
249	100	156	156	100	7	205	9,95
259	90	164	164	110	15	243	11,88
269	86	176	163	120	14	286	14,20
279	77	180	169	130	20	316	16,50
289	65	190	156	140	7	383	19,55
299	57	200	148	150	-1	437	22,50
309	48	210	142	160	-7	491	25,55
319	39	218	134	170	-15	543	28,68

В таблице приведены:
- начальная координата шайбы по шкале линейки;
, - координаты промежуточных остановок (если они есть) по шкале линейки;
- координата окончательной остановки по шкале линейки;
, - координаты начальной и конечной точек относительно положения равновесия :

Решено

3.2 График полученной зависимости.

Решено

3.3 Сравнение с теоретической зависимостью. причины расхождений.

Решено

3.4 Максимальное ускорение (формула и численное значение)

Решено

3.5 Расчет пути и изменения энергии . Приведите расчетные формулы, численные результаты расчетов занесите в Таблицу 1.

Решено

3.6 График зависимости изменения потенциальной энергии пружин (в относительных единицах ) от пути, пройденного шайбой .

Решено

3.7 Численное значение величины (метод расчета и численное значение)

Физический смысл этой величины.

Согласуются ли результаты этого эксперимента с результатами предыдущих экспериментов (поясните свой вывод)

.

Республиканская физическая олимпиада 2024 года
(Заключительный этап)

Экспериментальный тур

Режим тренировки Edu

Экспериментальный тур

Экспериментальный тур

Похожие задачи