Как измерить радиус кривизны с помощью секундомера? — режим тренировки

Режим тренировки Edu

Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.

Теория предсказывает как должно быть, а эксперимент показывает как оно есть на самом деле.

Во время теоретического тура вы должны были решить задачу о расчете периодов колебаний полукольца. Сегодня вам предстоит проверить экспериментально полученные формулы. А затем исследовать более сложную колебательную систему, форма которой не известно как описывается теоретически.

Лезвие используйте в качестве упора при изучении колебаний, закрепив его в лапке штатива. Будьте осторожны! Лист миллиметровой бумаги можете использовать для измерения длин (если у вас нет своей линейки), кроме того, рекомендуем на нем проводить необходимые построения, если вы считаете необходимым то этот лист с подписанными построениями следует сдать в жюри, возможно, что ваш труд будет оценен!

Решено

1.1 Определите экспериментально положение центра масс кольца. Не забудьте кратко описать методику проведения эксперимента.

Решено

1.2 Подвесьте полукольцо за середину скотча (центр полукольца). Измерьте с максимальной точностью период колебаний. Сравните полученные результат с теоретической формулой. Напоминаем, формула для периода таких колебаний имеет вид

Решено

1.3 Поставьте полукольцо на горизонтальную поверхность. Измерьте с максимальной точностью период «качательных» колебаний. Проследите, чтобы во время движения не было проскальзывания по столу. Сравните полученные результат с теоретической формулой.

Напоминаем, формула для периода таких колебаний имеет вид

Решено

1.4 Сделайте вид, что вам неизвестны ни радиус полукольца, ни ускорение свободного падения (число считайте известным). В этом случае для проверки формул, можно найти отношение периодов различных типов колебаний. Используя результаты измерений рассчитайте отношения периодов трех типов колебаний. Сравните полученные значения с теоретическими предсказаниями.

Рассчитаем отношения периодов колебаний. Погрешность измерения отношения периодов рассчитывается по формуле⁵

Теоретическое отношение периодов может быть рассчитано «без погрешностей». Результаты расчетов также представим в Таблице 3.

Таблица 3. Отношение периодов.


Теоретическое
Экспериментальное

Со всеми ранее сделанными оговорками можно говорить о соответствии результатов расчетов и измерений.

Решено

2.1 Измерьте зависимость положения центра масс линейки и от величины . Методику измерения положения центра масс предложите самостоятельно, кратко опишите ее. Постройте график зависимости .

2.1 – 2.2 Для измерения положения центра масс можно подвесить линейку (со скотчем) за один из ее концов и рядом отвес. На самой линейке засечь точку пересечения . После этого на листе бумаги зарисовать линейку, провести линию отвеса (через конец линейки и точку пересечения отвесом) и ось симметрии изогнутой линейки. Точка пересечения этих прямых и будет центром масс. Затем необходимо измерить требуемые геометрические величины , .

Периоды всех типов колебаний измеряются стандартно.

Результаты измерений (среднее значения периодов рассчитаны по 3 измерениям) представлены в Таблице 4 и на Графике 1.

Таблица 4. Зависимости периодов колебаний от изгиба линейки.

, см	, см	, см	,с	,с	,с	, см	, см
39	3,6	1,5	1,747	1,176	0,425	111,5	108,6
38	4,7	2,1	1,536	1,087	0,493	116,7	116,8
37	5,0	2,7	1,402	1,031	0,540	107,9	123,1
36	5,7	2,9	1,333	1,008	0,587	112,2	118,5
35	6,3	3,2	1,270	0,984	0,624	112,8	117,1
34	6,7	3,4	1,208	0,961	0,676	109,8	111,1
33	6,7	4,0	1,171	0,946	0,706	104,9	119,9
32	7,0	4,3	1,124	0,928	0,745	101,7	116,3
31	7,5	4,4	1,097	0,912	0,802	99,5	111,9
30	7,5	4,8	1,065	0,904	0,871	97,0	112,2

График 1. Зависимости периодов колебаний от изгиба линейки.

Решено

2.2 Измерьте зависимости периодов трех типов колебаний от расстояния между концами линейки . Постройте графики полученных зависимостей.

Решено

2.3 На основании измеренных данных, проверьте, согласуются ли формулы для периодов колебаний (4)-(5). Свой ответ обоснуйте расчетами, графиками.

Для проверки согласования формул выразим из них значения параметра :

Результаты расчетов этих параметров для различных значений изгибов линейки представлены в последних столбцах Таблицы 4 и на Графике 2.

График 2. Зависимости параметров от изгиба линейки.

Погрешность измерения периода составляет величину порядка , погрешность измерения положения центра масс - порядка , поэтому погрешность определения данных параметров составляет не менее . Следовательно, можно говорить о том, что рассчитанные значения данных параметров соответствуют друг другу в пределах погрешности измерений.

Если считать параметр постоянным, то его значение следует взять равным среднему арифметическому из всех рассчитанных значений с погрешностью равной примерно .

Расчет этой величины приводит к значениям

$см см$

Таким образом, можно считать, что значения параметра могут лежать в интервале $см$ и при этом в пределах погрешности его можно считать постоянным⁶.

Линеаризация зависимостей может быть проведена различными способами. С нашей точки зрения наиболее эстетично выглядит «симметричная»:

Таблица 5. Линеаризация зависимостей периодов от деформации.


3,260	1,383	7,379	3,053
2,682	1,182	5,317	2,360
2,576	1,063	4,215	1,965
2,385	1,015	3,956	1,777
2,267	0,968	3,633	1,613
2,205	0,924	3,453	1,460
2,205	0,894	3,034	1,372
2,167	0,861	2,875	1,264
2,114	0,831	2,828	1,203
2,114	0,817	2,663	1,135

Построим графики зависимостей квадратов периодов от соответствующего аргумента (График 3)

График 3. Линеаризация зависимостей.

Из графиков линеаризованных зависимостей хорошо видно, полученные зависимости, во-первых, линейны; во-вторых, описываются одной функцией (в пределах погрешности):

где для первого типа колебаний для второго типа колебаний

Таким образом, можно считать, что в пределах погрешностей измерений приведенные формулы правильно описывают экспериментальные данные по зависимостям периодов колебаний первого и второго типа от деформации линейки.

Решено

2.4 Предположим, что параметр не изменяется при изменении изгиба линейки. Используя результаты эксперимента проверьте данное предположение. Укажите диапазон изменения величины , в котором ваши экспериментальные данные позволяют считать постоянным. Определите ее значение с максимально возможной точностью.

Решено

2.5 Считая величину постоянной и известной (равной рассчитанной вами), проверьте еще раз согласование формул (4)-(5). Предложите такую линеаризацию зависимости периодов, чтобы их графики совпадали. Постройте эти графики.

Решено

2.6 Постройте график зависимости радиуса кривизны нижней части линейки от величины , используя свои экспериментальные данные. Считая, что форма изогнутой линейки является дугой окружности, рассчитайте зависимость радиуса этой дуги от величины . Сравните эту зависимость с полученной вами экспериментально. Укажите диапазон изменения , в котором форму изогнутой линейки можно считать дугой окружности.

Из формул (4), (6) следует, что отношение квадратов периодов соответствующих колебаний равно что позволяет рассчитать радиус кривизны изгиба линейки по формуле Результаты расчетов приведены в Таблице 6.

Получим уравнение для расчета радиуса кривизны по измерению расстояния между концами линейки. Из рисунка следует, что угол дуги линейки (в предположении, что это дуга окружности) может быть представлен в виде: из длины дуги ; (где $с м$ - длина линейки); из треугольника , Разделив эти уравнения друг на друга, получим уравнение для определения угла : Решить это уравнение можно численно (причем это решение требует достаточно громоздких расчетов). Найдя угол , можно рассчитать искомое значение радиуса кривизны .

В Таблице 6 и на графике 4 показаны результаты расчетов радиуса кривизны по измеренным периодам колебаний () и по измерению расстояния между концами изогнутой линейки ()

Таблица 6.

График 4. Зависимость радиуса кривизны линейки от величины изгиба.

Полученные результаты свидетельствуют, что данные, полученные двумя способами близки друг к другу, причем результаты ближе друг другу при больших изгибах (т.е. при меньших ). В нашем случае изогнутую линейку можно считать дугой окружности при $с м$ .

Радиус кривизны можно также приближенно найти геометрическими построениями. Для этого к профилю линейки необходимо построить две касательных в точках и (близкие к середине линейки) - и , восстановить к ним перпендикуляры. Точка их пересечения будет являться центром кривизны. Такие построения для см дали результат см, что хорошо согласуется с рассчитанными данными.

Решено

2.7 Для одного значения (выберите его самостоятельно) постройте на миллиметровой бумаге профиль изогнутой линейки и с помощью геометрических построений определите его радиус кривизны в нижней точке. Сравните полученный результат с результатом, найденным из измерений периодов различных колебаний.

Последнее. Для облегчения задания во второй части работы рассчитайте погрешности измерения периода колебаний и определения параметров и только для одного изгиба и одного типа колебания. Полученные оценки погрешностей используйте при необходимости для всех остальных измерений.

Примечания

4. . , НеследуетстрогоследоватьприведенномурасчетупогрешностейДопустимиупрощенныйвариантпо среднему модулю отклонения. ↩
4. Не следует строго следовать приведенному расчету погрешностей. Допустим и упрощенный вариант, по среднему модулю отклонения. ↩
5. Допустим и упрощенный метод расчета ↩
6. В качестве допустимого разброса значений этого параметра также можно взять стандартное отклонение, рассчитанное по всем значениям данного параметра. По приведенным данным оно равно $см$ , что примерно совпадает с полученной выше оценкой разброса. ↩

← Решение

Режим тренировки Edu

Примечания

Похожие задачи

Оригинал в архиве олимпиады