Часть 1. Примитивное решение.

Решение этой части задачи также примитивно. Закон равноускоренного движения при нулевой начальной скорости имеет вид

Полагая , найдем промежуток времени , которое требуется для достижения нужной точки:

Чтобы найти момент времени, когда автомобиль окажется в нужной точке, к найденному интервалу времени следует прибавить время ожидания :

Для построения графиков следует записать законы изменения скорости и координаты от времени:

При переходе к указанным относительным единицам данные выражения существенно упрощаются:

Графики этих функций показаны на рисунке. Отметим, что расстояние до конечной точки в данной системе единиц равно .

Часть 2. Умный лихач без тормозов.

Необходимой точки можно достичь быстрее! Для этого необходимо, чтобы к моменту открытия светофора автомобиль имел некоторую скорость, причем по возможности максимальную. То есть автомобилист может отъехать назад (в условии оговорено, что дорога пустая), а затем начать разгон с некоторой точки позади светофора.

Схематически такая «стратегия» показана на рисунке графика зависимости проекции скорости автомобиля от времени.

Итак: к моменту открытия светофора скорость автомобиля должна быть максимальна, следовательно, автомобиль должен отъехать как можно дальше, следовательно, он должен начать движение сразу! Кроме того, к моменту открытия светофора он должен находится непосредственно перед светофором. На рисунке: в течение некоторого промежутка времени автомобиль движется назад с возрастающей по модулю скоростью (включена задняя скорость), после этого водитель включает переднюю скорость и начинает двигаться с положительным ускорением. Понятно, что к моменту времени скорость автомобиля станет равным нулю (до этого момента он движется в обратном направлении с уменьшающейся по модулю скоростью). Наконец в течение интервала времени от до автомобиль разгоняется. Для определения времени необходимо учесть, что к моменту времени координата автомобиля должна равняться нулю (т.е. он находится перед светофором). Из этого условия следует, что площади треугольников (которая численно равна расстоянию на которое автомобиль отъедет от светофора) и должны быть равны! К моменту времени модуль скорости автомобиля равен , а к моменту времени скорость станет равной . Следовательно, условия равенства площадей треугольников имеет вид

Решая это уравнение, находим момент времени переключения скорости

Корень со знаком « - » больше , поэтому его следует отбросить. Таким образом, момент времени переключения скорости определяется формулой

Для определения момента времени достижения Нужной точки запишем уравнение равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью, начиная с момента времени :

Полагая , находим искомое время:

Численное значение этого времени .

Законы движения данном случае выражаются функциями

В приведенных единицах:

Графики этих функций показаны на рисунке

Часть 3. Умный лихач с тормозами.

В этом случае основная идея более быстрого достижения цели остается прежней – предварительно необходимо отъехать назад. Однако, при исправных тормозах можно отъехать подальше и, следовательно, разогнаться при подъезде к светофору до большей скорости. Сейчас «стратегия» движения изображается следующим графиком зависимости скорости от времени. В течение некоторого промежутка времени автомобиль отъезжает назад с максимальным ускорением, затем резко тормозит и начинает разгон. Так как к открытию светофора автомобиль должен находится непосредственно перед ним, время движения назад должно быть равно времени приближения к светофору (площади треугольников и равны). Следовательно, . Теперь легко записать закон движения:

при , при (10)

Время прибытия в конечный пункт находится из уравнения

Законы изменения скорости и координаты в приведенных единицах имеет вид

при , при (12)

Графики этих функций показаны на рисунке

Для сравнения на рисунке в одном масштабе показаны графики законов движения в двух случаях (без тормозов и с тормозами).