Мы имеем типичный пример системы, самостоятельно приходящей в состояние динамического равновесия. Вначале бусинка разгоняется,

растет скорость, а вместе с ней и сила реакции опоры , направленная перпендикулярно касательной к участку спирали, следовательно, возрастает и сила трения , направленная вдоль касательной к траектории в сторону противоположную скорости, причем модуль этой силы определяется известным законом . Через определенное время бусинка будет двигаться с установившейся скоростью. Опустившись на один виток, бусинка расходует запас потенциальной энергии на работу против сил трения (кинетическая энергия при этом больше не меняется)

• в вертикальной плоскости , касательной к участку спирали, и
  
• в горизонтальной плоскости. Выражения для этих компонент получены из следующих рассуждений: в вертикальном направлении движение бусинки является равномерным со скоростью , следовательно в проекции на любую ось, лежащую в вертикальной плоскости, касательной к траектории сумма всех проекций сил, действующих на бусинку, равна нулю; в горизонтальной плоскости движение бусинки является равномерным движением по окружности радиуса со скоростью , следовательно, бусинка движется с центростремительным ускорением, которое ей сообщает компонента силы реакции . Таким образом, модуль силы реакции определяется выражением
  
  В этих выражениях - угол между касательной к траектории и спиралью. Из простых геометрических построений находим

Подставляя полученные выражения в (1), получаем уравнение относительно скорости

Разрешая уравнение, находим искомую скорость установившегося движения бусинки

9-4. .Выберем начало системы отсчета на башне, задачу будем решать в векторном виде. К моменту вылета второго камешка первый совершит перемещение

и будет двигаться со скоростью

Перемещения камешков после бросания второго камешка запишутся следующим образом

Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым камешком. Тогда относительное положение первого камешка задается вектором

т.е. это движение вертикально вниз со скоростью . Поэтому

1. если таково, что первый камушек не успел опуститься ниже горизонта точки бросания (точка ), тогда наименьшее расстояние будет равно

Оно будет достигнуто в момент, когда оба шарика будут на одной высоте, т.е.

1. если таково, что первый камушек опустился ниже горизонта бросания (), наименьшим расстоянием будет начальное, т.е.

а момент времени .

(4)

Условие выбора ответа следует из (2): если , то ответ - (3),(4),

если , то - (1),(2).

9-5. Небольшая тень по центру означает, что шарик имеет размеры, ненамного превышающие диаметр пучка света (подумайте почему?). Рассмотрим крайний луч. Для него - угол падения и .

Следовательно, после отражения луч отклонится на угол , причем

Ясно, что поскольку , а , то угол - мал, и можно опустить в знаменателе, тогда

Как видно из рисунка

Таким образом диаметр шарика примерно равен (немного меньше).