Задача 10-3 — решение

Решение

Республиканская олимпиада 1998 10 класс № 3

Для идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, выполняется соотношение

где - теплоты отданная нагревателем и полученная холодильником;
- температуры нагревателя и холодильника, соответственно. Это же соотношение выполняется и для холодильной машины, работающей по обратному циклу, в котором от холодильника теплоту забирают и передают нагревателю. Мы используем соотношение (1), для того чтобы рассчитать количество теплоты, забранное у холодильника.

Принцип работы холодильной машины представлен на рисунке в виде схемы: из сосуда 1, содержащего воду при температуре

холодильник забирает

теплоты, при этом внешние силы совершают работу

и количество теплоты

передается сосуду 2, в котором находится вода при температуре

. Так как вода в сосуде 2 находится при температуре кипения, то эта температура изменяться не будет. Вода же в сосуде 1 будет остывать, возможно, затем замерзать. Поэтому необходимо проводить расчеты поэтапно с количественными результатами на каждом этапе.
Первый этап. Остывание воды до температуры замерзания.
Холодильник забирает количество теплоты

М Д ж

где

- изменение температуры воды в первом сосуде. В процессе остывания температура изменяется, поэтому строго говоря, для вычисления количества теплоты переданной в сосуд 1, необходимо рассматривать процесс, разбивая его на бесконечно малые участки. Однако, так как относительное изменение абсолютной температуры не велико (порядка 10%), то мы в расчетах примем среднее значение температуры

. На этом этапе сосуд 2 получит

М Д ж

Этого количества теплоты хватит, чтобы испарить

к г

воды (вся вода не испарилась - надо греть дальше). Работа, совершенная на первом этапе

М Д ж

Второй этап. Замерзание воды.
Сосуд 1 отдаст

М Д ж

сосуд 2 получит

М Д ж

(здесь - температура замерзания воды); при этом испарится

$кг$

совершена работа

$МДж$

Как следует, из полученных расчетов, и после этого этапа не вся вода испарилась, осталось $кг$ .

Третий этап. Остывание льда.

На этом этапе нам необходимо решать обратную задачу - легко найти количество теплоты, которое получит кипящая вода $МДж$ . Требуется определить сколько теплоты отдаст лед. На этом этапе температура так же изменяется, но мы по прежнему в расчетах используем ее среднее значение , где - изменение температуры льда. Тогда , а по формуле (1) . Приравнивая эти два выражения, найдем

Таким образом, в сосуде 1 будет находится лед при температуре .

На третьем этапе лед отдаст $МДж$ теплоты, следовательно совершена работа

$МДж$

Итого, в процессе испарения воды будет совершена работа $МДж$ . Заметим, что количество теплоты, которое отдал сосуд 1 $МДж$ , в два с половиной раза больше, чем совершенная работа.

Для того чтобы точно расчитать количество теплоты, полученное сосудом два, при изменении температуры в первом сосуде необходимо рассмотреть бесконечно малый участок этого процесса. Тогда

интегрируя это выражение получим

Отличие численного значения, расчитанного по этой формуле, от полученного ранее менее чем на .

← Условие

Решение

Похожие задачи