Задача 10-1 — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2005 10 класс № 1

Задание 10-1. «Калейдоскоп»

1.1 «Масленица» Поскольку гравитационные силы являются потенциальными, то их работа не зависит от траектории, а определяется только конечным и начальным положением материальной точки. Следовательно, во всех трех случаях сила тяжести совершит одинаковую работу

$Д ж к Д ж$

1.2 «Паровой клапан» На достаточно малый элемент поверхности шарика площадью , который можно считать участком плоскости, со стороны сплошной среды (в данном случае пара) действует нормальная элементарная сила давления , модуль которой

где — давление сплошной среды вблизи рассматриваемого участка поверхности. Для нахождения результирующей силы давления $Д$ со стороны пара следует векторно просуммировать элементарные силы давления

$Д$

В силу симметрии задачи можем заметить, что вектор $Д$ направлен нормально границе раздела сред, поэтому для нахождения его модуля достаточно просуммировать только нормальные компоненты векторов , которые перпендикулярны границе раздела

$Д$

Заметим, что сумма (3) представляет собой сумму площадей проекций элементарных площадок на границу раздела сред. Следовательно, независимо от формы поверхности пробки она всегда будет равна площади отверстия

Иными словами сила давления, действующая на рассматриваемую поверхность произвольной формы равна по модулю и противоположна по направлению силе давления той же сплошной среды на плоскую поверхность отверстия. Данное обстоятельство позволяет легко найти искомую силу

$Н$

Как следует из (5), ответ не зависит от радиуса шарика , главное, чтобы он был «достаточен» для перекрытия отверстия, иначе шарик будет просто выброшен из скороварки силами давления пара. Результат (5) не изменится, если клапан будет иметь форму, отличную от сферической.

1.3 «Дождевое сопротивление» Сила сопротивления возникает вследствие того, что при движении со скоростью $м с$ автомобиль «заметает» некоторое количество капель за промежуток времени , причем каждая капля «несет» с собой определенный импульс .

Будем считать, что соударение капли с автомобилем носит неупругий характер, т.е. попав на автомобиль, далее капля движется вместе с ним (покоится относительно него). В системе отсчета, связанной с автомобилем, капли движутся вертикально со скоростью $м с$ и горизонтально (навстречу автомобилю) со скоростью . Пусть концентрация капель в дождевом потоке — , масса одной капли — , площадь поперечного сечения автомобиля (в направлении движения) — . Тогда количество капель, попавших на автомобиль за время

Соответственно горизонтальный импульс этих капель (в системе отсчета, связанной с автомобилем)

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме сила представляет собой «скорость изменения импульса»

Интенсивность дождя также может быть выражена из элементарных соображений. Действительно, за время в неподвижное вертикальное метеорологическое мерное ведерко площадью поперечного сечения попадет количество капель

Это вызовет подъем уровня жидкости в ведерке на величину

где — плотность воды. Соответственно, для интенсивности дождя получаем

Таким образом, окончательное выражение для силы дождевого сопротивления приобретает вид

Величину площади поперечного сечения автомобиля в направлении движения оценим из рисунка (для этого по периметру рисунка нанесена специальная градуировочная шкала) $м$ . Окончательно

$Н$

Столь неожиданно малое значение оценки для объясняется малой интенсивностью дождя (т.н. «грибной» дождь) и сравнительно небольшой скоростью автомобиля.

1.4 «Магнитный ограничитель тока» На достаточно малый элемент полукольца длиной , который можно считать отрезком, действует сила Ампера

Сила Ампера , действующая на симметричный элемент кольца , имеет такую же величину, поскольку в силу симметрии . Момент этой пары сил относительно точки

Соответственно, суммарный момент всех элементарных сил Ампера относительно точки , поднимающий полукольцо вверх, найдем суммированием (2) по всем парам

Сумма в (3) представляет собой сумму длин проекций пар элементарных участков на диаметр $ОА$ , т.е.

Ограничитель «сработает» (т.е. разомкнет цепь) при такой силе тока , когда момент сил Ампера сравняется с моментом силы тяжести относительно точки
$А кА$

1.5 «Магнитный толкатель» Как следует из предыдущего пункта, сила Ампера, действующая на провод произвольной формы равна по модулю силе Ампера, действующей на отрезок, соединяющий его начальную и конечную точки.
Построить картину распределения элементарных токов по диску достаточно сложно, однако в силу предыдущего замечания для ответа на вопрос задачи этого и не требуется, поскольку все они начинаются в точке и заканчиваются в точке . Следовательно, для нахождения результирующей силы Ампера можно считать, что от точки к в точке течет прямой ток . Теперь понятно, что диск сдвинется с места по направлению действия силы Ампера, т.е. по нормали к отрезку $АВ$ в направлении к центру окружности. Это произойдет после того, как сила Ампера превысит по модулю силу трения покоя (на рис. )
$А$

**Решение 10.2. «Смещение и затухание»

2.1. Выразите частоту колебаний шарика через массу шарика и жесткость пружины.
Уравнение движения шарика имеет вид

из которого непосредственно следует формула для частоты

2.2. Получите выражение для силы , действующей на неподвижный шарик со стороны диска, как функцию его расстояния до центра диска (для ).

Электрическое поле внутри проводящего диска должно отсутствовать. Под действием поля

точечного заряда

на поверхности диска будут индуцироваться заряды с поверхностной плотностью

, которые будут создавать поле

, равное по величине и противоположное по направлению поля точечного заряда. Учитывая, что размеры диска малы по сравнению с расстоянием до заряда, можно пренебречь изменением вектора напряженности

в пределах диска. Поэтому и поле

следует считать однородным, а поверхностную плотность индуцированных зарядов постоянной.

Напряженность поля точеного заряда определяется формулой , а напряженность поля индуцированных зарядов связана с их поверхностной плотностью соотношением . Приравнивая эти величины, определим поверхностную плотность индуцированных зарядов , и величину индуцированного заряда на одной стороне диска , (где - площадь диска).

Интересно отметить, что индуцированный дипольный момент диска равен . Из сравнения с традиционным выражением для этой величины следует, что поляризуемость диска в точности равна его объему.

Теперь с помощью закона Кулона легко найти силу, действующую на точечный заряд со стороны двух индуцированных зарядов (который на большом расстоянии также можно считать точечными)

Учитывая, что , окончательно получим

где - объем диска.

2.3. Получите формулу для определения максимального заряда шарика, при котором он может совершать колебательное движение.

Необходимым и достаточным условием возможности колебаний является наличие положения устойчивого равновесия.

Условию равновесия соответствует равенство сил упругости и электростатического взаимодействия (3), то есть для координаты точки равновесия справедливо уравнение

Это уравнение является алгебраически уравнением шестой степени, поэтому не может быть решено элементарными методами. Преобразуем уравнение к виду

обозначим

и введем безразмерный параметр рассматриваемой системы

В этих обозначениях уравнение (4) имеет простой вид

Колебания шарика возможны до тех пор, пока существует положение устойчивого равновесия. Иными словами, пока уравнение (6) имеет решения на интервале

. Функция

резко возрастает при приближении аргумента к единице. При малых значениях параметра

эта функция имеет две точки пересечения с прямой

(то есть имеется два корня уравнения), при больших значениях

корней нет – на рисунке

Из анализа зависимостей сил упругости и электрического притяжения следует, что меньший корень соответствует положению устойчивого положения равновесия, а больший неустойчивого.
«Критическим» значением является такое значение , при котором прямая касается графика функции в одной точке . Таким

образом, в этой точке производная от этой функции должна равняться . Итак, для определения этого значения имеем два уравнения

Разделив первое из них на второе, получим , откуда следует ,

а искомое значение параметра выражается «очень красиво»

Используя выражение для параметра (5), находим максимальное значение заряда

Возможен еще один способ определения условия существования корней уравнения (6). Преобразуем это уравнение к виду

Ясно, что это уравнение будет иметь корни, если максимум функции превышает значение параметра . Этот метод приводит к тому конечному результату.

2.4. Чему равно относительное смещение положения равновесия шарика ?

Заметим, что приведенное в условии численное значение параметра меньше критического , поэтому при таком заряде существует положение устойчивого равновесия шарика. Его координата является меньшим корня уравнения (6).

С точностью до малых величин первого порядка, его решение элементарно

2.5. Чему равно относительно изменение частоты колебаний шарика ?

Обозначим расстояние от диска до положения равновесия заряженного шарика . Переместим начало отсчета в эту точку. Уравнение движения шарика при малом отклонении от положения равновесия имеет вид (при преобразовании функций опять используется малость отклонений ):

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются, так как точка - положение равновесия. Таким образом, получаем уравнение гармонических колебаний

с частотой

Следовательно, относительное изменение частоты колебаний равно

2.6. Оцените, за сколько периодов колебаний заряженного шарика их амплитуда уменьшится .

Так как индуцированные на поверхности диска заряды зависят от положения заряженного шарика, то при его движении величины этих зарядов будут изменяться, то есть по диску будут протекать электрические токи. Причиной затухания колебаний является потеря энергии на выделение джоулевой теплоты при протекании электрического тока при «перезарядке» диска. При малом сопротивлении диска можно пользоваться «квазистационарным» приближением, то есть считать, что заряд диска соответствует равновесному значению при заданном положении шарика. Величина равновесного индуцированного заряда была подсчитана ранее и равна . Сила тока протекающего поперек диска легко вычисляется

где - скорость шарика. Так как колебания шарика малы, то можно пренебречь изменением расстояния в знаменателе формулы (9) и положить . В этом случае мощность теплоты, выделяющейся в диске по закону Джоуля-Ленца равна

Если скорость шарика изменяется по закону , то среднее за период значение квадрата скорости равно . Потери энергии за один период колебаний равны

Из предыдущего рассмотрения следует, что изменения положения равновесия и частоты малы, поэтому в данной формуле можно положить , . Начальная энергия колебаний , поэтому формулу (10) можно записать в виде

Как следует из этого выражения, потери энергии за период пропорциональны начальной энергии, следовательно, энергия как функция числа колебаний будет убывать в геометрической прогрессии, действительно, за один период энергия уменьшится до величины

после колебаний энергия станет равной

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то из формулы (11) следует, что амплитуда колебаний зависит от числа колебаний по закону

Учитывая, что рассматриваемое изменение амплитуды колебаний мало, то очередной раз можно воспользоваться приближением

или относительное уменьшение амплитуды

Таким образом, искомое число колебаний равно

что соответствует времени более одного месяца.

2.7. Оцените, при каком удельном электрическом сопротивлении материала диска затухание колебаний шарика будет максимальным.

Проведенное выше описание затухание колебаний не полно.

Оно справедливо только для малых удельных сопротивлений. Действительно, из полученных выражений следует, что для непроводящей пластинки , колебания затухают мгновенно, хотя в этом случае отсутствуют механизмы потери энергии, следовательно, колебания должны быть вообще незатухающими.

Для более точного описания затухания необходимо более точно рассмотреть динамику изменения

поверхностной плотности индуцированных зарядов на поверхности диска.
Для этого воспользуемся законом Ома¹ и связью плотности тока с
изменением поверхностной плотности заряда . Учитывая, что поле
внутри диска создается как полем заряда шарика, так и индуцированными
зарядами, запишем уравнение для изменения поверхностной плотности
индуцированных зарядов

Обозначим и упростим это уравнение, используя стандартную
методику

Плотность тока перезарядки (следовательно, и потери энергии) определяются
переменной составляющей плотности заряда, поэтому представим
, где - изменяющаяся часть поверхностной плотности
заряда. Для последней справедливо уравнение

Как мы показали выше, затухание колебаний является крайне малым,
поэтому координату шарика с высокой точностью можно представить в
виде

тогда для определения получим уравнение

которое проще всего решить методом векторных диаграмм. Так, при

Тогда

векторная диаграмма, описывающее уравнение (14)
имеет вид, показанный на рисунке (где обозначено

).
Из данной диаграммы следует

¹ Можно использовать закон Ома и в «обычной» форме – «для участка цепи».
Конечно, в качестве частоты колебаний можно взять собственную частоту колебаний

Далее, аналогично выводу соотношения (10), можно утверждать, что потери энергии за период пропорциональны (оставлены только сомножители, зависящие от удельного электрического сопротивления)

Данная функция достигает максимума при , следовательно, при этом условии затухание и будет максимальным. Таким образом, получаем , или окончательно

2.8. Качественно опишите, какие именно свойства индуцированных зарядов (и их изменения) обеспечивают появление сил, действующих на шарик, приводящих к
а) смещению положения равновесия;
б) изменению частоты колебаний;
в) затуханию колебаний.

На основании предыдущих рассуждений следует, что
а) постоянная составляющая поверхностной плотности заряда приводит к смещению положения равновесия;
б) изменение поверхностной плотности в «квазистационарном приближении» приводит к изменению частоты колебаний;
в) Заметим, что если все силы, действующие на шарик, зависят только от координат, то затухание колебаний отсутствует. Поэтому следует искать причины, приводящие к появлению составляющих сил, зависящих от скорости движения шарика. Причиной появления таких слагаемых является «запаздывание» - распределение индуцированных зарядов отстает от равновесного распределения, соответствующего положению шарика в «данный момент времени». Наличие «запаздывания» распределения зарядов, по отношению к положению заряда приводят к затуханию колебаний.

Дополнение, не входящее в оцениваемое решение.
Эти утверждения можно строго подтвердить на «языке уравнений» движения шарика и изменения поверхностной плотности индуцированных зарядов.

Сила электрического взаимодействия

Уравнение колебаний шарика

Уравнение для изменения поверхностной плотности индуцированных зарядов

или, с учетом использованных обозначений,

Из этого уравнения выразим , и подставим в уравнение колебаний шарика

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются (уравнение для определения смещенного положения равновесия).

Множитель при третьем слагаемом определяет изменение частоты

Следующее, содержащее скорость изменения поверхностной плотности, ответственно за затухание. Остальными следует пренебречь, как имеющие более высокий порядок малости.

Итого имеем уравнение колебаний.

В использованном приближении, уравнение для плотности заряда можно решать методом последовательных приближений. Пренебрегая «запаздыванием» получаем

тогда . Подставляя в уравнение движения шарика, получаем уравнение

в котором в явном виде присутствует слагаемое, «ответственное» за затухание.

Решение 10.3

3.1 Сила тяги автомобиля связана с его мощностью $тяги$ , поэтому на основании второго закона Ньютона можно записать

Переход к уравнению для изменения кинетической энергии осуществляется традиционным методом: умножаем уравнение на скорость

замечаем, что , и получаем

3.2 При малых скоростях движения автомобиля можно пренебречь силой сопротивления воздуха, тогда на основании уравнения , получим зависимость пути пройденного автомобилем от скорости.

По приведенным экспериментальным данным построим график зависимости пути от квадрата начальной скорости. Действительно при малых скоростях эта зависимость линейна. Из наклона

м

графика определяем силу постоянного сопротивления

кН

Коэффициент пропорциональности в выражении для силы сопротивления воздуха определим, зная максимальные скорость и мощность автомобиля. При равномерном движении с максимальной скоростью выполняется соотношение

, из которого определяем

кг м

Требуемый параметр также рассчитывается .

3.3 В установившемся режиме выполняется соотношение

аналогично — при движении с максимальной скоростью

Их отношение

дает связь между относительными характеристиками

Выразить в явном виде зависимость скорости от мощности сложно, зато легко построить график зависимости мощности от скорости, а затем его повернуть.

3.4 При движении в гору автомобиль должен также преодолевать проекцию силы тяжести равную . Эта сила постоянна, поэтому можно считать, что она увеличивает параметр в рассматриваемых уравнениях.

Аналогично, сопротивление воздуха изменяет параметр . В обоих случаях изменяется величина параметра в уравнении (3). Таким образом, нам следует разработать методику использования графического решения этого уравнения при изменении параметра .

Для определения скорости установившегося движения необходимо решить уравнение

которое можно преобразовать к виду (3) и использовать уже построенный график. Обозначим и переписшем (4) в виде

Мы имеем уравнение, совпадающее с решенным, только в нем вместо стоит неизвестная , а вместо - . Теперь можно провести необходимые расчеты.

При движении в гору:

По графику находим . Следовательно,

$\text is only supported in math modev = 0 { , } 3 \sqrt { \frac { \gamma _ { 0 } F _ { 0 } } { \beta } } \approx 1 5 \frac { \text{ \text{м} } } { \text{ c } } = 5 5 \frac { \kappa \text{ m } } { \text{ \text{ч} a c } } .$

При движении с багажником

$и з г р а ф и к а н а х о д и м н а к о н е ц$

$\text is only supported in math modev = 0 { , } 9 2 \sqrt { \frac { \gamma _ { 0 } F _ { 0 } } { \beta } } \approx 2 5 \frac { \text{ \text{м} } } { \text{ c } } = 9 0 \frac { \kappa \text{ m } } { \text{ \text{ч} a c } } .$

3.5 Рассмотрим динамическое уравнение движения (1) в течении малого временного интервала. В течение этого промежутка скорость возрастает приблизительно пропорционально времени , а мощность изменяется по закону , а силой сопротивления воздуха можно пренебречь.

Подставим эти выражения в уравнение (1)

Мы получили квадратное уравнение относительно неизвестного ускорения , решить которое не сложно

Подставляя численные значения, получим необходимые результаты:

при $\text is only supported in math mode\tau = 1 0 c \quad a \approx 1 { , } 9 \frac { \text{ \text{м} } } { \text{ c } }$ ;

при $\text is only supported in math mode\tau = 1 { , } 0 c \quad a \approx 6 { , } 6 \frac { \text{ \text{м} } } { \text{ c } }$ .

3.6 Оценку времени разгона можно получить как отношение изменения скорости к ускорению в начальный момент разгона, которое определяется из уравнения (1)

Таким образом, получим
$с$

3.7 Описанное управление действительно возможно при положительных значениях коэффициента . Так если автомобиль движется с требуемой скоростью, то мощность остается постоянной, если по каким-то причинам скорость стала меньше требуемой, то мощность двигателя начнет возрастать, и, наоборот, с ростом скорости мощность будет убывать.

3.8 Качественно динамика изменения скорости и мощности будет иметь вид: Мощность начнет возрастать, скорость также будет расти, когда скорость станет равной требуемой, мощность достигнет максимального значения, после чего начнет убывать, а скорость продолжать расти, возможно несколько периодов таких затухающих колебаний. Чем больше значение параметра управления , тем резче будут эти колебания, при уменьшении параметра управления выравнивание скорости будет проходить медленнее, но зато без резких колебаний. Оптимальный выбор параметра управления определяется условием: минимальное время установления скорости без ее колебаний (критический режим).

Решение задачи 11.1 «Показательная разминка»

1.1 По второму закону Ньютона ускорение точки постоянно и равно , при равноускоренном движении пройденный путь зависит от времени по закону .

Поэтому .

1.2 Так как жидкость «вязкая», то можно считать, что в любой момент времени движение жидкости является «установившемся», для которого справедливо уравнение (данное в примечании)

Из этого уравнения следует

, после интегрирования получаем

, окончательно получаем

. Таким образом, искомый показатель степени

Другой способ решения задачи заключается в подстановке функции , приведенной в условии в уравнение (1)

Приравнивая показатели степеней переменной (), получаем искомое значение параметра . Таким образом, при этом значении приведенная функция удовлетворяет уравнению (1).

. Из уравнения теплового баланса следует, что суммарный поток теплоты через эту сферу равен количеству теплоты, выделившейся внутри сферы, что может быть записано в виде уравнения (с учетом закона, сформулированного в приложении)

Это уравнение легко приводится к простому виду , решение которого с учетом граничного условия на поверхности (при температура ) имеет вид

приведенный в условии, причем искомый показатель степени равен .

Кто не умеет интегрировать, может решить задачу, подставив функцию

в уравнение (1)

. Из этого равенства следует, что приведенная в условии функция удовлетворяет уравнению теплового баланса при

и любом значении параметра

, который может быть найден из граничного условия на поверхности планеты.

1.4 Совместим ось с осью диполя, а ее начало определим в точке нахождения диполя. Тогда в точке , находящейся на расстоянии , напряженность поля может быть записана в виде
$д и п т о ч т о ч т о ч$
где $т о ч$ напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, при выводе (1) учтена малость расстояния между зарядами диполя.
Вычисляя производную, получим
$д и п т о ч$
Пусть второй диполь находится на расстоянии в поле, напряженность которого зависит от координаты по закону . Тогда, сила, действующая на этот диполь, может в том же приближении представлена в виде

что соответствует приведенной в условии формуле при .
Задача может быть решена и традиционным способом: записать точное выражение для силы взаимодействия пар зарядов, а затем провести разложение по малому параметру –размеру диполя.
1.5 Так как массы шариков равны по условию, а силы, действующие на них равны по третьему закону Ньютона, то шарики будут двигаться навстречу друг другу с равными по

модулю скоростями и столкнуться в средней точке. Когда шарики находится на расстоянии друг от друга, скорость каждого может быть найдена из закона сохранения энергии

Найти из этого уравнения время сближения сложно (хотя и возможно), однако нам и нет необходимости решать это уравнение – нам необходим вид зависимости времени движения от начального расстояния. Введем собственную систему единиц измерения: расстояния – начальное расстояние ; единицу измерения времени определим позднее. Расстояние между частицами и время, измеренные «в новых единицах» обозначим

Переходя к новым переменным в уравнении (1), получим

Используем теперь «произвол» в выборе единицы измерения времени таким образом, чтобы в этом уравнении не осталось параметров, то есть сделаем его «безразмерным», для чего достаточно положить

или определить единицу измерения времени как

В этом случае уравнение (1) приобретает вид

в котором нет никаких исходных параметров. Кроме того, пределы изменения переменной также являются «универсальными» . Следовательно, и его решение – зависимость также «универсальна», поэтому и время движения (измеренное в единицах ) является некоторой константой. Обозначим ее , тогда время движения, измеренной в «обычных» единицах определяется как

Таким образом, приведенная формула доказана, а искомый показатель степени равен .

Возможны и другие варианты решения: прямое интегрирование уравнения (1); переход к безразмерным параметрам в уравнении 2 закона Ньютона; проведение аналогии с 3 законом Кеплера и т.д.

Решение задачи 11-2.

Часть 1.

Построим диаграмму процесса изменения состояния рабочего газа. Обозначим площадь поперечного сечения рабочего цилиндра , а жесткость пружины .

Последовательно рассмотрим все узловые состояния и процессы рабочего газа. Конечно, коэффициент полезного действия машины можно подсчитать как отношение работы (численно равной площади цикла) к количеству полученной теплоты. Однако, учитывая, что нам необходимо найти и среднюю мощность, вычислим сразу и теплоты, получаемые от нагревателя и отданные холодильнику на каждом этапе.

Состояние 0.

В начальном состоянии параметры газа следующие:

объем ;
давление обусловлено силой упругости пружины

температура находится из уравнения состояния идеального газа ( - количество молей рабочего газа)

Состояние 1.

После включения нагревателя температура и давления газа начнут расти до тех пор, пока сила давления газа на поршень окажется в состоянии сдвинуть поршень вправо (состояние 1). В этот момент объем еще останется прежним

давление газа станет равным

а температура

Процесс 0 – 1.

Таким образом, процесс является изохорным, в его ходе газ получит количество теплоты, равное

При постоянной мощности нагревателя этот процесс будет протекать в течение промежутка времени

При дальнейшем нагреве поршень будет смещаться вправо.
Состояние 2.
В конечной точке расширения, когда объем станет равным
,
давление достигнет значения

а температура станет равной

Процесс 1 – 2.
Пусть поршень находится в некоторой промежуточной точке с координатой , в этом состоянии объем газа будет равен . Считая процесс равновесным и пренебрегая инерционностью системы, давление газа можно записать в виде

то есть зависимость давления от объема является линейной.
Работа, совершенная газом в процессе расширения, численно равна площади под графиком процесса на рассматриваемом участке

Изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле

Количество теплоты, полученной в ходе процесса , рассчитывается с помощью первого закона термодинамики

Соответственно, время этого процесса

Состояние 3.
После отключения нагревателя и включения холодильника газ начнет охлаждаться при неизменном объеме , до тех пор, сила давления газа не станет меньше силы упругости возвращающей пружины, то есть до значения

Температура при этом станет равной

Процесс 2-3.
Процесс остывания является изохорным (при этом работа равна нулю ), количество отданной теплоты равно уменьшению внутренней энергии

и пройдет за время

Процесс 3-4.
Так как газ сжимается под действием пружины, то его давление определяется силой упругости пружины

Характеристики этого процесса рассчитываются стандартным методом:

изменение внутренней энергии
работа, совершенная газом,
количество отданной теплоты
время протекания процесса

Коэффициент полезного действия двигателя рассчитаем по формуле

Заметим, что в данном случае работа газа над поршнем равна работе рабочего устройства, которая в свою очередь легко может быть рассчитана как произведение перемещения поршня на силу, которая действует со стороны поршня на рабочее устройство

Во всех остальных случаях «полезная» работа также будет определяться этой формулой, но не будет равна работе газа за цикл.

Среднюю мощность двигателя рассчитаем как отношение полезной работы к периоду цикла

Для удобства представим параметров газа во всех узловых состояниях в таблице 1, а характеристики процессов в таблице 2.

Таблица 1.

	Объем	Давление	Температура
0
1
2
3

Таблица 2.

	Тип процесса				Время
0-1
1-2
2-3
3-0
всего

Часть 2.

С учетом атмосферного давления «картинка цикла» поднимется на единицу вверх по шкале , что приведет к увеличению теплоты, которую сообщает газу нагреватель. Газ, по-прежнему,

получает теплоту от нагревателя на участках изохорического процесса и процесса расширения .

Расчет параметров газа в узловых точках процесса аналогичен проведенному выше, поэтому приведем его без комментариев и дадим в виде таблицы 3.

Таблица 3.

	Объем	Давление	Температура
0		$атм$
1
2

Согласно первому закону термодинамики это количество теплоты равно

Соответственно, коэффициент полезного действия равен

что меньше, чем в «идеальном» случае.

Часть 3.
При учете силы трения к рассмотренному циклу добавятся две узкие «полоски», иллюстрирующие преодоление этих сил, что приведет к увеличению теплоты, сообщаемой нагревателем.
Следует особо отметить, что на этапе расширения сила трения приводит к увеличению давления газа, а на участке сжатия к его уменьшению.

Значения характеристик газа для данного цикла представлены в таблице 3.
Таблица 3.

	Объем	Давление	Температура
0		$атм тр$
1		$тр$
2		$тр$

Расчет количества полученной теплоты имеет вид

Следовательно, коэффициент полезного действия

Как видно, значение К.П.Д. почти совпадает с предыдущим значением. Поэтому можно провести приближенный расчет. Найдем, насколько увеличится количество полученной газом теплоты из-за наличия трения. Имеется две причины увеличения этой теплоты: во-первых, увеличение изменения температуры (начальная температура чуть ниже на величину $тр$ , а конечная чуть выше $тр$ ); во-вторых, незначительно увеличивается давление в процессе расширения $тр$ .
Поэтому
$тр тр тр$
Теперь изменение К.П.Д. можно рассчитать по формулам

Часть 4

4.1 Основной причиной того, что поршень перестанет ускорятся, является то обстоятельство, что давление газа на движущийся поршень отличается от давления на неподвижную преграду.
Найдем, какое давление оказывает газ на поршень,

движущийся с постоянной скоростью

, используя традиционные методы МКТ. Будем считать, что скорость движения поршня

, значительно меньше средней скорости теплового движения молекул. Молекула, имеющая проекцию скорости

(нормальную к поверхности), при ударе передает поршню импульс

Число молекул, имеющих скорость близкую к

и достигших поршня за время

, равно

Для вычисления давления необходимо провести усреднение по возможным значениям скоростей молекул

причем усреднение необходимо проводить по молекулам, нормальные составляющие скоростей которых лежат в интервале

.
Для оценки средних величин, стоящих в выражении (3), примем, что средняя проекции скорости примерно равна среднеквадратичному, а средний квадрат проекции легко определяется из формулы для среднего квадрата модуля скорости. Поэтому

таким образом, давление газа на движущийся поршень определяется выражением

где коэффициент пропорциональности равен

Заметим, что более точный расчет с корректным вычислением средних приводит к результату .
Поршень будет двигаться с постоянной скоростью, когда силы давления газа на обе стороны поршня сравняются. В этом случае справедливо уравнение

из которого определяем скорость движения поршня

4.2 Мы показали, что сила давления на «убегающий» поршень меньше среднего давления газа. Следовательно, для того чтобы в рассматриваемом двигателе поршень перемещался, необходимо увеличить среднее давление газа. Требуемое увеличение давления определяется из формулы (4)

Такое увеличение потребует увеличения количества теплоты, потребляемой от нагревателя, это увеличение оценивается также, как и при учете силы трения

Соответственно уменьшается коэффициент полезного действия двигателя

Добавление, не входящее в основное решение.
Вычисление коэффициента .
Расчет проведен с точностью до первой степени скорости движения поршня

Решение 11-3

Часть 1. «Магнитное поле»

1.1

1.1 Для определения индукции на оси кольца (обозначим ось ) следует воспользоваться законом Био-Саварра-Лапласа. Выделим на кольце небольшой элемент длиной , который создает в точке магнитное поле индукции . Из симметрии системы следует, что суммарный вектор индукции направлен вдоль оси системы. Поэтому для его

вычисления достаточно просуммировать проекции векторов индукции,
создаваемые отдельными элементами тока кольца

Такое суммирование выполняется элементарно (заменой длины выбранного
элемента кольца на его полную длину), откуда и следует приведенная в
условии формула

где обозначено , множитель имеет смысл индукции в центре
кольца и равен
$Тл$

1.2

1.2. Для вычисления радиальной составляющей
вектора магнитной индукции можно воспользоваться
теоремой о магнитном потоке, который равен нулю
через любую замкнутую поверхность. В качестве
таковой выберем тонкий цилиндр малой толщиной
и радиуса , ось которого совпадает с осью
катушки. Из теоремы о магнитном потоке следует
выражение

из которого определяем радиальную составляющую поля

1.3

1.3 В установившемся режиме вся теплота, выделившаяся внутри планеты, переносится к ее поверхности. Так как система обладает сферической симметрией, то и распределение температур, и тепловые потоки также сферически симметричны. Выделим внутри планеты сферу радиуса . Из уравнения теплового баланса следует, что суммарный поток теплоты через эту сферу равен количеству теплоты, выделившейся внутри сферы, что может быть записано в виде уравнения (с учетом закона, сформулированного в приложении)