Колебания линейки на цилиндре — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2024 11 класс № Э1

Часть 1. Зависимость периода от диаметра.

1.1 Чтобы провести измерения с максимальной точностью и оценить случайную погрешность необходимо провести измерения времен максимального числа периодов колебаний несколько раз. В данном эксперименте провести измерения времен более 3 колебаний практически невозможно из-за сильного затухания. Поэтому проведены измерения 3 колебаний по 5 раз для одной и для сдвоенных линеек. Результаты этих измерений приведены в Таблице 1., в которой также приведены формулы, по которым проведен расчет погрешностей

Таблица 1.

	одна линейка	две линейки
Времена 3 колебаний	11,18	12,86
	11,15	12,69
	11,22	12,65
	11,13	12,51
	11,17	12,55
Среднее время	11,170	12,652
Случайная погрешность $сл$	0,030	0,123
Приборная погрешность $п р$	0,010	0,010
Полная погрешность $сл п р$	0,032	0,123
Период колебаний	3,723	4,217
Погрешность измерения периода	0,011	0,041

Окончательные результаты измерения периодов колебаний
одна линейка

две линейки

1.2 Зависимости периодов колебаний от диаметра цилиндра приведены в Таблице 2 (одна линейка) и Таблице 3 (две линейки).

Таблица 2. Одна линейка

		время N колебаний			, с
, мм	N	, с	, с	, с
10	3				3,723	0,072
20	3	8,93	8,69	8,91	2,948	0,115
25	5	12,03	12,07	12,08	2,412	0,172
35	5	9,69	9,66	9,75	1,940	0,266
40	5	8,97	8,98	8,86	1,787	0,313
60	5	7,05	6,98	7,01	1,403	0,508
87	10	11,67	11,64	11,68	1,166	0,735

Таблица 3. Две линейки

		время N колебаний			, с
, мм	N	, с	, с	, с
10	3				4,210	0,056
20	3	8,15	8,33	8,22	2,744	0,133
25	5	11,61	11,74	11,55	2,327	0,185
35	5	9,65	9,64	9,56	1,923	0,270
40	5	9,5	9,04	8,56	1,807	0,306
60	5	7,12	7,08	7,13	1,422	0,495
87	10	11,86	11,88	12,03	1,192	0,703

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.

1.4 Линеаризация зависимости (1), приведенной в условии задачи достигается очевидным способом: необходимо построить зависимость величины от диаметров цилиндров. Эту зависимость можно представить в виде

Если определить параметры линейной зависимости , то искомый параметр выражается через коэффициенты линейной зависимости следующим образом:

с погрешностью

В последних столбцах Таблиц 2 и 3 приведены значения величин .

1.5 Графики линеаризованных зависимостей показаны на следующем рисунке.

Так как полученные зависимости линейны, то формула (1) из условия задачи правильно описывает экспериментальные данные.

1.6 Расчет коэффициентов линейной зависимости проведен по МНК, в результате получены следующие значения
для одной линейки:
$мм$
для двух линеек
$мм$

Расчет параметров по формулам (4) – (5) приводит к следующим значениям
для одной линейки
$мм$
для двух линеек
$мм$
Данный параметр имеет смысл толщины линейки.

1.7 Если положение равновесия является устойчивым, то колебания возможны. Из формулы
(1) следует, что колебания могут происходить при

Часть 2. Зависимость периода колебаний от положения грузов.

2.1 Результаты измерений зависимости периода колебаний от положения магнитов приведены в Таблице 4.

Таблица 4. Результаты измерений

	Время 5 колебаний
, см	, с	, с	, с	, с	, с	период , с
19	8,38	8,37	8,27	8,14	8,23	1,66
16	7,47	7,37	7,34	7,42	7,28	1,48
13	6,17	6,28	6,22	6,37	6,21	1,25
10	5,08	5,03	5,12	5,2	5,09	1,02
7	4,19	4,28	4,11	4,26	4,28	0,84

График полученной зависимости показан на рисунке.

Простые теоретические рассуждения, основанные на анализе кинетической энергии линейки с грузами, приводят к следующему виду зависимости

Для проверки этой зависимости следует построить график линеаризованной зависимости . График линеаризованной зависимости показан на следующем рисунке.

Линейность данной зависимости подтверждает справедливость формулы (11) для описания полученных экспериментальных данных.

Экспериментальное задание 2. Преломление света (Решение)

Часть 1. Показатель преломления и дисперсия стекла.

1.1

1.1 Результаты измерений углов и приведены в Таблице 1. График полученной зависимости показан на рисунке.

Таблица 1.


70	49
80	44
90	42
100	42
110	42
120	43
130	44
140	47
150	50
160	53
170	57

Важно отметить, что данная зависимость имеет точку минимума.

1.2

1.2 Для увеличения точности измерения следует продлить лучи на большее расстояния, нарисовать их на листе бумаги, а затем провести измерения углов.

В результате проведенных измерений получены следующие значения

1.3

1.3 – 1.4 Получим формулы для расчета показателя поглощения.

На рисунке показан симметричный ход луча через призму. Обозначим:

- угол падения луча на грань призмы;

- угол преломления на одной грани призмы;

- угол при вершине призмы
Из закона отражения света следует, что

При симметричном ходе луча, используя известное значение суммы углов треугольника, можно выразить

Закон преломления в данном случае имеет вид

из которого с учетом выражений для углов следует формула для расчета показателя преломления по измеренному углу :

Угол отклонения луча 2 равен (сумма отклонений при двух преломлениях)

отсюда следует, что

Из закона преломления следует искомая формула для расчета показателя преломления по углу

При расчетах в эти формулы следует подставить измеренные значения и . Расчеты приводят к следующим результатам:

По углу :

по углу

1.4

1.5

1.5 Оптическая схема для получения параллельного пучка света показана на рисунке.

1.6

1.6 Оптическая схема для получения спектра на экране показана на следующем рисунке.

1.7

1.7 Для расчета показателя преломления необходимо измерить значения угла минимального отклонения для крайних цветов спектра. а затем по формуле (7) рассчитать соответствующие показатели преломления.
Результаты измерений и расчетов

Для красного цвета (примерное значение длины волны $кр нм$ ):
$кр$
$кр$

Для фиолетового цвета (примерное значение длины волны $кр нм$ ):
$кр$
$кр$

Таким образом, в пределах видимого диапазона показатель преломления изменяется на величину

2.1

2.1 Для измерения углов и следует расположить чашку Петри на угломерном лимбе, с помощью которого можно измерить угол входа луча (он же угол ) и угол выхода луча

Тогда угол преломления можно рассчитать по формуле

Результаты измерений и последующих расчетов приведены в Таблице 2.

Таблица 2.


0	180	0,0	0,000	0,000
10	176	7,0	0,122	0,174
20	170	15,0	0,259	0,342
30	170	20,0	0,342	0,500
40	166	27,0	0,454	0,643
50	164	33,0	0,545	0,766
60	165	37,5	0,609	0,866
70	166	42,0	0,669	0,940
80	173	43,5	0,688	0,985

2.2

2.2 Для проверки закона преломления

следует построить график зависимости .
Тогда коэффициент наклона этого графика даст значение показателя преломления. Значения синусов углов приведены в Таблице 2.
График полученной зависимости показан на рисунке.

2.3

2.3 Прямая пропорциональность между синусами углов подтверждает справедливость закона преломления света.

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи