Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
Одним из нетрадиционных возобновляемых источников энергии может служить энергия морских волн. К настоящему времени разработано более десятка различных волновых электростанций (ВЭС), некоторые из которых показаны на рисунке. В данном задании Вам необходимо проанализировать работу одного из типов, таких реально существующих ВЭС.
Упрощенная схема установки показана на рисунке. Прочный открытый снизу цилиндр вертикально закреплен у береговой скалы. Морская вода может поступать в этот рабочий цилиндр снизу. В верхней части трубы находится воздух. Выходная труба соединяет цилиндр с электрогенератором G, выходная труба генератора открыта в атмосферу. При подъеме уровня воды воздух вытесняется из цилиндра и приводит во вращение турбину генератора. При опускании уровня воды через ту же трубу атмосферный воздух всасывается внутрь рабочего цилиндра через ту же трубу. При этом турбина также может вращаться, что приводит к выработке электроэнергии.
Для описания работы этой установки используются следующие приближения.
- Воздух можно считать идеальным газом.
- Вода внутри и снаружи рабочего цилиндра все время находится в квазиравновесном состоянии, т.е. давление, создаваемое водой, может рассчитываться по законам гидростатики.
- Генератор снабжен клапаном, который открывается, если разность давлений с разных сторон генератора достигает некоторого значения
. При меньшей разности давлений труба оказывается полностью перекрытой. При открытом клапане (из-за наличия турбины) разность давлений остается постоянной и равной . - Все процессы происходят при постоянной температуре.
- Разностью давлений воздуха в рабочем цилиндре и выходной трубе можно пренебречь.
- Уровень воды вблизи рабочего цилиндра изменяется по периодическому закону, который можно приближенно описать кусочно-линейной функцией. На графике: плавная кривая – реальная зависимость, ломаная линия – приближение, которое используется в решении данной задачи.
В данной задаче удобно в качестве единицы давления использовать «метр водяного столба» - гидростатическое давление, создаваемое 1 метром водяного столба. Считайте, что
Используйте следующие обозначения (смотри схему установки):
- высота уровня воды вблизи рабочего цилиндра
- график этой функции приведет выше; - высота уровня воды внутри рабочего цилиндра
; - высота верхней крышки рабочего цилиндра
.
Все эти величины отсчитываются от равновесного уровня моря.
В расчетах используйте следующие значения параметров:
- атмосферное давление
(водяного столба, что соответствует нормальному атмосферному давлению); - температура воздуха и воды
; - молярная масса воздуха
; - универсальная газовая постоянная
; - площадь поперечного сечения рабочего цилиндра
; - площадь поперечного сечения выходной трубы
; - разность давлений, при котором открывается клапан, и которая поддерживается постоянной при протекании газа через турбину,
; - высота цилиндра над уровнем моря
; - период волны
. - амплитуда волны
.
1.1 Выразите давление воздуха в рабочем цилиндре (в метрах водяного столба) через атмосферное давление
Рассмотрим рабочий цикл установки. Считаем, что поверхность моря спокойна
Нарисуй сечение установки и отметь, какие столбики воды создают давление на воздух сверху и снизу. Что меняется в давлении воздуха, если наружный или внутренний уровень воды поднялся?
Запиши условие равновесия давления на границе воздух–вода и учти, что гидростатическое давление пропорционально высоте столба воды.
- Обозначь давление воздуха в цилиндре через
, атмосферное через , высоты — и . - Запиши суммарные вклады гидростатического давления от наружного и внутреннего столбов на верхнюю точку воздуха.
- Вырази
через , и и проверь знак каждого члена. - Выразите
из полученной системы.
1.1 Давление воздуха внутри рабочего цилиндра следует из условия равновесия воды
1.2 Рассчитайте, при какой минимальной амплитуде волны
Далее будем считать, что амплитуда волн остается постоянной и равной
Подумай: при каком условии начнёт работать генератор — что должно случиться с давлением в цилиндре при пике волны?
Воспользуйся условием открытия клапана — давление внутри должно достичь определённой величины; при этом сжатие воздуха в цилиндре для подъёма описывается изотермическим законом состояния идеального газа (
- Запиши требование на давление в момент максимума волны:
. - Запиши изотермический закон для начального состояния и состояния при максимуме:
(в терминах высот). - Свяжи
с условием открытия клапана и подставь в уравнение, получи выражение для минимальной амплитуды . - Выразите
из полученной системы.
1.2 При подъеме уровня воды моря начнется подъем уровня воды в цилиндре и сжатие воздуха в нем. Так как клапан выпускной клапан открывается, если давление воздуха внутри цилиндра достигнет значения
Чтобы генератор начал работать, необходимо, чтобы при максимальном подъеме уровня воды
Принимая во внимание формулу (2), получим, что максимальный уровень подъема воды в рабочем цилиндре должен стать равным
Найденное значение позволяет найти минимальную высоту волны
Окончательно находим
1.3 Рассчитайте численное значения модуля скорости подъема и опускания уровня воды вне установки
В данной части задания необходимо описать цикл работы установки, то есть найти зависимости уровня воды
На этом графике Вы должны построить зависимость
рассчитать значения указанных
параметров в узловых точках,
показных на рисунке. Точки 1, 3,
5, 7 соответствуют открытию или
закрытию клапана турбины
генератора, их положение вам
предстоит найти, поэтому на
рисунке они показаны условно.
График зависимости
изобразить в виде отрезков
прямых между узловыми
точками (за исключением
участка 1-2).
Посмотри на кусочно-линейный график волнового уровня: какая часть периода соответствует подъёму и какая — спаду? Как соотносится амплитуда и период с характерной скоростью?
Скорость уровня на линейных отрезках равна отношениям амплитуды на длину по времени; используй геометрию ломаной для вычисления модуля скорости.
- Определи временную протяжённость подъёма (и спада) как часть периода
по ломаной аппроксимации. - Запиши выражение для модуля скорости
как отношения пройденной высоты (некоторого отрезка графика) к соответствующему интервалу времени. - Подставь амплитуду
и период в это соотношение и выразите из полученной системы.
1.3 Модуль скорости движения воды снаружи равен
1.4 Найдите явный вид зависимости уровня воды в цилиндре
нуля до
1.4 Параметры в состоянии 1 задаются начальными условиями.
На временном интервале между точками 1 и 2 (а также 2 и 3) подъем уровня воды вне цилиндра происходит по закону
Процесс 1-2 (до открытия клапана) есть процесс изотермический при постоянной массе воздуха, поэтому описывается уравнением
Из этого квадратного уравнения, которое после раскрытия скобок имеет стандартный вид
находим зависимость высоты уровня воды цилиндре от времени
График этой зависимости показан на рисунке.
1.5 Найдите, в какой момент времени
уровень воды вне цилиндра
момент времени.
1.5 Для расчета характеристик воздуха в момент времени
Тогда из уравнения (8) можно получить линейное уравнение
Из которого легко находятся все необходимые параметры воздуха в состоянии 2:
1.6 Рассчитайте значения высоты уровня вне цилиндра
давления воздуха
(
это необходимо) формулы, по которым проведены расчеты. Постройте схематический
график зависимости
1.6
Участок 1-2. В момент времени
В точке 3 параметры воздуха станут равными
Участок 2-3. Далее уровень воды вне цилиндра начнет уменьшаться, следовательно, начнет понижаться и уровень воды в рабочем цилиндре. Давление воздуха внутри уменьшится.
поэтому клапан закроется. Поэтому процесс 3-4 будет изотермическим при постоянной массе
газа, т.е. описываться уравнением
Высота
В этот момент воздух начнет поступать в цилиндр. Теперь из уравнения (17) с учетом
выражения (18) можно рассчитать все характеристики состояния воздуха в точке 3:
Участок 3-4. Далее процесс будет идти при постоянной разности давлений, вплоть до того
момента пока уровень воды не начнет снова повышаться, т.е. на в точках 5 и 6 значения
определяются заданным в условии графиком. а значения
формулам
Численные значения параметров в этой точке равны:
Участок 4-5. На участке 4-5 (при подъеме уровня воды) клапан опять закроется, масса воздуха
в цилиндре будет неизменной, давление будет изотермически возрастать до открытия клапана
(когда давление станет равным
следует воспользоваться системой уравнений, которые аналогичны уравнениям, записанным
ранее:
Из этой системы без труда находим:
Момент времени, когда уровень воды достигнет значения
Из которого вычисляем
Далее значения параметров
точке 6 совпадают со значениями в точке 2 и т.д. Для расчета времен следует прибавить период
волны, т.е. 10 с. Все эти значения переписаны в Таблице 1.
Таблица 1. Узловые точки
| Номер точки | время |
высота воды снаружи |
высота воды внутри |
Давление внутри точки снаружи h , м внутри z , м |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 10 |
| 1 | 1,6 | 3,2 | 1,2 | 12 |
| 2 | 2,5 | 5,0 | 3,0 | 12 |
| 3 | 4,8 | 0,5 | 2,5 | 8,0 |
| 4 | 7,5 | -5,0 | -3,0 | 8,0 |
| 5 | 11,2 | 2,3 | 0,33 | 12 |
| 6 | 12,5 | 5,0 | 3,0 | 12 |
| 7 | 14,8 | 0,5 | 2,5 | 8,0 |
| 8 | 17,5 | -5 | -3 | 8,0 |
График рассчитанной зависимости (все данные, необходимые для построения графика приведены в Таблице 1) показан ниже.
1.7 На отдельном бланке постройте схематическую диаграмму процесса изменения
состояния воздуха в рабочем цилиндре в координатах
1.7 Рассчитанные значения параметров позволяют построить диаграмму рабочего цикла рассматриваемой установки. Результат построения – на рисунке.
1.8 Укажите, начиная с какой узловой точки процесс далее будет периодически повторятся,
укажите также конечную точку цикла.
Найди первую точку цикла, после которой набор состояний повторяется в том же порядке; подумай, при каком условии на входе и выходе клапана начинается периодичность.
Процесс станет установившимся, когда последовательность открытий/закрытий клапана и соответствующие
- Проследи за временной эволюцией состояний 1…8 и найди первую пару точек, между которыми повторяется та же последовательность (с теми же
и ). - Запиши начальную и конечную точки одного полного периода процесса.
- Выразите номер точки, с которой процесс будет периодически повторяться, и номер конечной точки цикла через результаты пунктов 1.6.
1.8 Циклический процесс начинается в точке 2, конец цикла – точка 5.
2.1 Укажите, на каких участках процесса (между какими узловыми точками) генератор
вырабатывает электроэнергию.
Вспомни: турбина производит электроэнергию тогда, когда через неё идёт поток воздуха под разностью давлений. На каких отрезках цикла это имеет место?
Учитывай, что генератор работает только при открытом клапане, когда поддерживается постоянная разность давлений
- Просмотри последовательность узловых точек и пометь те отрезки, где клапан открыт (по условию задачи).
- Запиши эти отрезки как пары соседних узловых точек.
- Выразите набор отрезков, на которых генератор вырабатывает энергию.
2.1 Генератор вырабатывает электроэнергию, когда воздух проходит через турбину в любом направлении. Это происходит на участках цикла 3-4 (воздух всасывается внутрь рабочего цилиндра) и 5-6 (воздух выталкивается из цилиндра).
2.2 Рассчитайте массу воздуха, который выходит из рабочего цилиндра за один цикл работы
установки.
Масса вышедшего воздуха за цикл равна разнице массы в цилиндре между началом и концом проходящих через турбину открытых участков; представь, как меняется объём воздуха при потоке через турбину.
Используй уравнение состояния идеального газа
- Для каждого состояния при открытом клапане вычисли объём воздуха
и соответствующую массу . - Найдите суммарную разницу масс между начальным и конечным состоянием каждого прохода через турбину за один цикл.
- Выразите полную массу воздуха, вышедшую за цикл, как сумму этих разностей.
2.2 Воздух вытесняется из цилиндра на участке 5-6. На этом участке давление воздуха внутри цилиндра постоянно и равно
Масса вытесненного воздуха рассчитывается с помощью уравнения состояния
При численных расчетах необходимо все величины выразить в системе СИ (прежде всего это касается давления). Подставляя эти численные значения, находим
2.3 Оцените кинетическую энергию воздуха, выходящего из рабочего цилиндра на входе в
турбину генератора за один цикл работы установки.
Кинетическая энергия воздуха на входе в турбину определяется его скорости, которую можно оценить из перепада давления и массы потока.
При малых скоростях и установившемся потоке можно связать динамическое давление с разностью давлений; используй приближение, что потенциальная энергия упирается в кинетику потока на входе в турбину.
- Оцени скорость потока у турбины, используя энергию, доступную из перепада давлений
и плотности воздуха (через уравнение состояния). - Вычисли кинетическую энергию для массы воздуха, найденной в пункте 2.2:
. - Выразите числовое значение кинетической энергии через ранее найденные массу и скорость.
2.3 Для расчета кинетической энергии необходимо найти скорость движения выходящего газа. Так как давление воздуха в цилиндре и выходной трубе одно и то же, то плотность воздуха остается постоянной, поэтому справедливо уравнение
где
Примечание. В реальности при протекании газа давления газа в цилиндре и в выходной трубе должны различаться, но по условию задачи этой разностью следует пренебрегать.
2.4 Рассчитайте работу, совершенную воздухом, выходящим из рабочего цилиндра, над
турбиной генератора за один цикл работы установки.
Работа, совершённая воздухом над турбиной, равна интегралу силы давления по объёму потока — подумай, какие давления действуют и на какие объёмы.
Для участка с протеканием при постоянной разности давлений используйте работу газа при течение через турбину: работа равна разности
- Для каждого открытого участка запиши работу как
; при постоянной разности давлений это упрощается до . - Найдите изменения объёма воздуха в цилиндре за соответствующий открытый участок через разности
(объём пропорционален ). - Просуммируй вклады по всем открытым участкам за цикл и выразите суммарную работу над турбиной.
2.4 Можно считать, что со стороны цилиндра на турбину действует сила пропорциональная давлению в цилиндре, а с другой – пропорциональная атмосферному давлению. Поэтому работа, совершенная над турбиной генератора, должна рассчитывать по формуле
Подставим численные значения и проведем расчет
2.5 Считая, что КПД электрогенератора равен
рассмотренной установки за один цикл ее работы.
2025 года
(Заключительный этап)
Теоретический тур
Средняя электрическая мощность — это полезная работа в единицу времени с учётом КПД генератора. Сколько циклов происходит за секунду?
Вычисли среднюю выработку за цикл из работы воздуха, умножь на КПД электрогенератора
- Возьми суммарную работу воздуха за цикл из пункта 2.4 и умножь на
. - Раздели полученную полезную энергию на период
и получи среднюю мощность . - Выразите числовое значение средней мощности через найденную работу, КПД и период.
2.5 За полный цикл работа совершается и при всасывании воздуха (на участке 3-5). ЕЕ можно рассчитать по формуле аналогичной формуле (30):
Учитывая коэффициент полезного действия электрогенератора, для средней мощности установки получаем выражение
Округляя, получаем мощность данной установки – примерно 100 киловатт.
2025 года
(Заключительный этап)
Теоретический тур
Решения задачПохожие задачи
Цикл Ренкина
Несмотря на современное многообразие способов получения электроэнергии с помощью сжигания различных типов топлива, использования солнечного света или …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Задача 11-2
Задача 11.2 «Тепловой двигатель»*
Внутри закрытого с одной стороны рабочего цилиндра расположен плотно пригнанный поршень, соединенный с помощью …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Электростатический генераторвар. 1
Электростатический генератор – это устройство, в котором высокое постоянное напряжение создаётся при помощи механического переноса заряда.
В этой …
Паровой двигатель
В данной задаче необходимо рассмотреть упрощённую теоретическую модель одного из типов парового двигателя. Отметим, что в настоящее время такой …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Терморезистор – терморегулятор
В данной задаче Вам необходимо проанализировать возможность проанализировать возможность применения такого прибора в качестве нагревателя и …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Машина по изготовлению льда
Юный экспериментатор Федя, изучив основы термодинамики, понял, что в силах своими руками собрать тепловую машину, а точнее, холодильную машину. Своей …
У Р Б П ≈5/5