1.1 Ускорение системы, образованной двумя брусками, найдем из второго закона Ньютона

где сила трения, действующая на каждый из брусков.

Поскольку силы упругости пружины в данном случае являются внутренними (действуют

на оба бруска), то в уравнение (1) они не вошли (на рисунке не отмечены).

Из (1) получим

Подчеркнем, что при записи (1) и (2) предполагается (и следует из условия задачи), что выполняется условие .

Теперь применим второй закон Ньютона к движению левого бруска 2, который ускоряется под действием силы упругости пружины и силы трения

Выражая из (3) значение силы упругости пружины, найдем

Из (4) следует, что , следовательно, согласно закону Гука

Как следует из (5), абсолютное удлинение пружины в данном случае прямо пропорционально модулю силы, приложенной к одному из брусков. Интересно, что коэффициент трения брусков о плоскость не вошел в окончательный ответ.

1.2 Под действием внешней силы шары начнут ускоряться по горизонтальной плоскости (сухим трением, согласно условию, можно пренебречь). По мере роста скорости шаров будут увеличиваться модули сил сопротивления , действующих на них в системе, причем, поскольку скорости шаров одинаковы, то . Следовательно, при некоторой скорости сумма сил сопротивления сравняется по модулю с силой , после чего разгон системы прекратится (движение установится, т.е. ее ускорение станет равным нулю ).

Запишем второй закон Ньютона для установившегося движения системы шаров

Поскольку силы упругости пружины в данном случае являются внутренними (действуют на оба шара), то в уравнение (6) они не вошли.

Из (6) следует, что

Аналогично применяя второй закон Ньютона к установившемуся движению шара 2, получим

Из (7) найдем модуль силы упругости

Применяя закон Гука, находим абсолютное удлинение пружины в зависимости от модуля приложенной силы

Как следует из (9), абсолютное удлинение пружины в данном случае также прямо пропорционально модулю силы, приложенной к одному из шаров. Опять же интересно, что коэффициент сопротивления также не вошел в окончательный ответ.

1.3 В случае произвольного количества брусков действуем аналогично пункту 1.1 задачи. Рассмотрим все бруски как целое (систему), имеющую массу . Силы упругости пружин в данном случае опять являются внутренними (действуют попарно) и их можно не учитывать при записи второго закона Ньютона

Из (10) найдем ускорение системы как целого

Далее рассмотрим -ый брусок от конца цепочки. Сила упругости -ой пружины , действующая на него слева, разгоняет брусков, следовательно, второй закон Ньютона для системы рассматриваемых брусков примет вид

Из (12) найдем модуль силы упругости -ой пружины

Согласно (13) натяжение пружин цепочки возрастает пропорционально номеру пружины от конца цепочки. Следовательно, минимальное натяжение будет у пружины с номером (в конце цепочки), а максимальное — с номером , у пружины в начале цепочки, прикрепленной к грузу, на который действует сила .

Аналогично будет вести себя и абсолютная деформация -ой пружины

Как следует из (14) для нахождения суммарного удлинения всех пружин необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии

При записи (15) учтено, что между брусками расположено пружина. Суммирование дает

Окончательный ответ

1.4 Поведение системы из шаров, движущихся в вязкой среде, будет аналогично поведению двух шаров, рассмотренных в пункте 1.2 задачи — с течением времени скорости шаров перестанут меняться, т.е. примут некоторое установившееся значение . (ускорение системы станет равным нулю ).

Деформации пружин при этом также будут оставаться неизменными.

Запишем второй закон Ньютона для установившегося движения системы (ускорение равно нулю)

Опять же рассмотрим -ый шарик от конца цепочки. Сила упругости -ой пружины , действующая на него слева, движет брусков, следовательно, второй закон Ньютона для рассматриваемых шариков примет вид

Как видим результат (19) полностью аналогичен выражению (13) для предыдущего пункта задачи. Следовательно, суммарное удлинение пружин в данном случае также можно просчитать как сумму соответствующей арифметической прогрессии х+Δх+...Δх=1(+2+...(N−1))=. (20) общ

Окончательный ответ

При большом числе шаров () единицей в числителе (21) можно пренебречь. В таком случае выражение для суммарного удлинения принимает вид

Интересно, что при рассмотрении различных механизмов трения (сухого и вязкого) окончательные результаты (17) и (21) для суммарного удлинения систем совпали. Подумайте самостоятельно, всегда ли будет иметь место подобное совпадение.