Часть А. Газ как пружина

Поскольку сосуд открыт, система находится в равновесии, а поршень может двигаться практически без трения, то давление газа изначально равно атмосферному кПа.

A1.1. Предположим газ поршень сдвинули на некоторое малое расстояние . Тогда объем газа станет равен . Так как стенки сосуда хорошо проводят тепло, то процесс изменения объема можно считать изотермическим, подчиняющемуся закону . Тогда , где – новое давление газа. Отсюда:

Рассмотрим силы, действующие на поршень. Это сила атмосферного давления снаружи, сила давления газа изнутри и сила, с которой деформируют газ. По третьему закону Ньютона последняя сила совпадает по модулю с той, что ощущает экспериментатор со стороны поршня, то есть с силой упругости. Отсюда:

В пределе малых деформаций сила упругости линейна по этой деформации, что говорит о выполнимости закона Гука. Полученный коэффициент при и есть жесткость такой «газовой пружины». Она равна:

A1.2. Поверхностное напряжение равно: . Относительное удлинение равно: , где – начальная «длина» газа вдоль направления деформации. Отсюда получаем закон Гука в дифференциальной форме (по модулю):

Полученный коэффициент при деформации и есть модуль Юнга. Для «газовой пружины» он оказался равным атмосферному давлению:

A1.3. Для того, чтобы рассмотреть отклонение от закона Гука, необходимо вернуться к месту, где использовалось приближение в выражении для давления газа в пункте A1.1 и продлить разложение до квадратичного слагаемого. Тогда для силы упругости получаем выражение:

где за «переменную» жесткость можно считать: . Видно, что результат зависит от типа (знака) деформации: при «растянутом газе» (знак «плюс») с увеличением деформации жесткость будет уменьшаться, при «сжатом газе» (знак «минус») с увеличением деформации жесткость будет увеличиваться.

A2.1. В данном случае меняется не только давление и объем, но и температура газа. Пусть температура газа при небольшой деформации изменяется на . Так как стенки сосуда и поршень теплоизолированы, то процесс будет адиабатическим и первое начало термодинамики можно записать в виде , откуда:

где — химическое количество газа в сосуде. Будем считать процесс что деформированный газ оказывается в равновесном состоянии. Тогда можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояния:

Из последнего выражения с учетом предыдущих двух получаем:

Оставляя лишь слагаемые первого порядка малости по деформации, получаем:

Вновь записав силы, действующие на поршень, аналогично пункту A1.1, получим:

Снова видим, что закон Гука при малых деформациях выполняется и жесткость «газовой пружины» равна:

A2.2. Вводя напряженность и относительное удлинение аналогично пункту A1.2, получим:

Отсюда модуль Юнга равен:

A2.3. Удержав квадратичное слагаемое разложения в формуле для давления , получим:

Отсюда «переменная жесткость» равна . Снова, как и в пункте A1.3, получаем, что при «растянутом газе» (знак «плюс») с увеличением деформации жесткость будет уменьшаться, при «сжатом газе» (знак «минус») с увеличением деформации жесткость будет увеличиваться.

Часть B. Газ против пружины.

B1. Прежде всего, найдем — давление газа после изохорного нагрева (не забываем, что температуры должны быть абсолютными, в Кельвинах).

Происходящий процесс неравновесный, мы не можем записать уравнение Менделеева-Клапейрона для любого промежуточного состояния газа, однако оно справедливо для начального и конечного равновесных состояний:

где — деформация газа и пружины, и — конечные давление и температура. Кроме того, можно записать баланс сил (2-й закон Ньютона) для поршня в конечном положении:

Наконец, процесс адиабатический. Газ совершает работу за счет внутренней энергии: . При этом, пренебрегая массой поршня, работа газа идет только на увеличение потенциальной энергии деформированной пружины. Получаем:

Объединяя приведенные равенства, можно получить квадратное уравнение относительно :

Решать данное уравнение удобно, подставив численные значения коэффициентов. Отбрасывая отрицательный корень (газ расширяется), получаем: см. Далее, из уравнений Менделеева-Клапейрона и второго закона Ньютона можно получить выражение для искомой температуры: