Часть 1. Теоретическая

Для общности описания силы натяжения нити, переброшенной через блок, обозначим и . Причем сила направлена в сторону движения блока (см. рис.). На рисунке обозначена точка касания колеса блока с осью – точка . Именно к ней приложены сила нормальной реакции и сила трения . Будем считать, что сила трения связана с силой нормальной реакции уравнением (закон Кулона – Амонтона):

Положение точки касания можно найти из условия равновесия вдоль горизонтальной оси:

С учетом закона (1), из уравнения (2) следует

Условие равновесия вдоль вертикальной оси имеет вид:
Условия равномерности движения имеют вид:

Подставляя выражения для силы трения (1) и коэффициента трения (3), получим

Наконец, запишем условия равновесия моментов сил, действующих на колесо блока

В это уравнение также следует подставить ранее найденные соотношения (сила реакции выражается из уравнения (5)), в результате получаем:

Последнее соотношение запишем в виде

Здесь обозначено , .
Запишем также явное выражение для силы , следующее из формулы (8):

Дополнение.
Приведем также очень краткое, но нетрадиционное теоретическое решение этой задачи. В его основе лежит понимание смысла закона для силы трения и коэффициента трения. Сила взаимодействия движущегося тела с поверхностью, по которой происходит движение, разлагается на две составляющих: нормальную (сила нормальной реакции) и касательную , которая является силой трения. Тангенс угла , под которым направлена суммарная сила к нормали, является коэффициентом трения .

Обратимся к рис. 1. Суммарная сила взаимодействия колеса блока с осью должна быть направлена вертикально, поэтому точка касания лежит на прямой отклоненной от вертикали на угол , тангенс которого равен коэффициенту трения. При равномерном движении сумма моментов сил, действующих на колесо блока равна нулю, относительно любой точки. Запишем это условие относительно точки касания :

Из этого уравнения сразу следует

что эквивалентно уравнению (9).

Теперь можно записать соотношения, которые подлежат экспериментальной проверке.

1. Подъем груза.

В этом случае силой является измеряемая динамометром сила , а силой - сила тяжести грузов . Поэтому соотношение (9) имеет вид

2. Опускание груза.

В этом случае силы и меняются местами: , . Следовательно, соотношение (9) принимает вид

Из которого следует:

Кроме того, отметим, что параметр может быть определен с помощью выражения (8). Для этого следует построить и проанализировать зависимость разности сил от их суммы. В этой зависимости коэффициент наклона равен искомому параметру.

Часть 2. Экспериментальная

В таблице 1 приведены результаты измерений и необходимых расчетов.

Таблица 1.

Ниже приведены графики, иллюстрирующие полученные экспериментальные данные.

На графике 1 приведены зависимости силы, прикладываемой к нити, от массы подвешенного груза: 1 — при подъеме груза, 2 — при его опускании. По коэффициентам наклона этих графиков можно рассчитать значение параметра , а затем на основании его определения , , найти коэффициент трения . Для этого следует воспользоваться формулой

Очевидно, что основная погрешность расчета коэффициента трения определяется погрешностью параметра , поэтому может быть рассчитана по формуле

Замечание. Все погрешности косвенных измерений также могут быть рассчитаны методом границ!

Прямые измерения диаметров колеса блока и его оси приводят к значениям мм и мм, следовательно, их отношение равно

Дальнейшие расчеты для обеих зависимостей аналогичны, поэтому проведем их параллельно в Таблице 2.

Таблица 2. Расчет коэффициента трения

Первое, что следует отметить – существенное значимое различие в рассчитанных значениях коэффициентов трения, которое не может быть объяснено погрешностями измерений! Выяснение причин этого парадоксального вывода является серьезным поводом для дальнейших исследований (возможно, на одной из последующих олимпиад!).

Второе – неожиданное, на первый взгляд, возрастание относительной погрешности в цепочке расчетов . Этот результат имеет разумное объяснение. Фактически в основе расчета лежит отклонение коэффициента наклона от единицы , а эта величина сравнима с погрешностью измерения коэффициента наклона , поэтому относительная погрешность величины значительно больше, чем относительная погрешность самого коэффициента наклона.

Альтернативным способом обработки результатов измерения является использование формулы (8). Эти зависимости показаны на графике 2. Как видно, разброс экспериментальных точек здесь намного значительнее, поэтому погрешности расчетов коэффициентов наклона должны быть больше. Правда, в этом методе коэффициенты наклона непосредственно равны параметру и не последующий пересчет не требуется. Действительно, расчеты по МНК дают следующие результаты:

• При подъеме грузов: ;
• При опускании: .

Как и следовало ожидать, полученные значения (и их погрешности) совпадают с результатами предыдущих длительных расчетов (см. строку 6 в таблице 2). Таким образом, для уменьшения погрешности следует точнее измерять, а не искать иные методы расчета, хотя следует отметить, что второй способ гораздо короче!

Задача 10-1 «Мостовая схема»