Измерения без приборов — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2020 11 класс № Э2

Часть 1. Зависимость периода колебаний от длины маятника (метод совпадений).

Решение задачи основано на наблюдении совпадений. Число колебаний до совпадения определяется из простого уравнения , откуда следует основная расчетная формула

Теоретическая модель проста и строится на основе формулы для периода колебаний математического маятника.

В этих формулах можно положить , где — длина маятника неизменной длины в единицах ; , где — число оборотов, сделанных при укорочении длины нити. Тогда

Из формул (2)-(3) получаем

Если считать, что , то из формулы (3) следует простое приближенное выражение

Тогда число колебаний до совпадения рассчитывается по формуле:

В таблице 1 приведены значения числа колебаний до совпадений:

— рассчитанные по формуле (6);

— рассчитанные по точной формуле (4);

$эксп$ — экспериментальные значения (рассчитанные, как средние по 5 измерениям)

Таблица 1.

n	N1	N2	Nэксп
1	63	62	63
2	31	30	31
3	20	20	19
4	15	14	15
5	12	11	12
6	10	9

Эксперимент показывает хорошее совпадение с результатами теоретических расчетов.

Расчет показывает, что при допустимой погрешности , приближенная формула применима даже при .

Так как относительное изменение периода определяется формулой (1), то погрешность измерения относительного изменения периода оказывается равной (если положить, что погрешность подсчета числа колебаний равна )

Что при больших является малой величиной.

Часть 2 Биения.

В этой части задачи анализ строится на известном результате о периоде биений, который подчиняется формуле

Эта формулу следует из тригонометрических формул для суммы синусов (или косинусов). Фактически она выражает тот факт, что частота биений равна разности частот колебаний слагаемых.

Из формулы (2) следует, что

Здесь - период биений, измеренный в периодах колебаний маятника постоянной длины. А эта формула полностью совпадает с формулой (1). Поэтому все результаты (при указанных значениях параметров маятников), оказываются теми же самыми!

В таблице (2) повторены расчетные значения теоретические значения и результаты измерений (усредненные)

Таблица 1.