«Закороченный» реостат — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2024 9 класс № Э2

1.1

1.1 Электрическая схема представлена на рисунке 3.
$В дел А А дел$

В данном случае задействуем неподвижные клеммы. Ползунок оставляем свободным. Если задействовать неподвижную клемму и ползунок, то его контакты нужно ставить на стальное кольцо другой неподвижной клеммы. В этом случае контакты ползунка плохо прижимаются к кольцу и измерения могут быть некорректными.

1.2

1.2 $А В$ .

1.3

1.3 Из закона Ома для участка цепи
$В А Ом$

1.4

1.4
$А А В В$
$Ом Ом$

1.5

1.5 $Ом$ .

2.1

2.1 Части реостата длиной и соединены параллельно. Сопротивления этих частей можно записать в виде:
$и$
Их общее сопротивление при параллельном соединении можно выразить из уравнения:

2023-2024 учебный год

После не сложных преобразований получим:

Из закона Ома для участка цепи

Подставляя (8) в (7), получим:

2.2

2.2 мм.

2.3

2.3 Результаты измерений представлены в таблице 1(колонки 1, 2. 4).

Таблица 1

1	2	3	4	5
,A	, B	, Ом	, мм	, Ом/мм
2,00	1,9	0,95	5,0	0,19
1,40	2,4	1,7	10	0,17
1,20	2,6	2,2	15	0,14
1,00	2,6	2,6	20	0,13
1,07	2,9	2,7	25	0,11
1,07	2,9	2,7	30	0,090
1,10	2,8	2,5	35	0,073
1,25	2,8	2,2	40	0,056
1,45	2,6	1,8	45	0,040
1,70	2,2	1,3	50	0,026
1,90	1,6	0,84	53	0,016
		Сред.	30	0,095
		Дисп.	241	0,0032
		Ковар.		-0,87

			-0,0036	0,203

			0,0002	0,005

2.4

2.4 Так как уравнения (9) и (7) эквивалентны, то далее будем работать с уравнением (7).

2023-2024 учебный год

Для того чтобы проверить справедливость какого-либо уравнения по результатам эксперимента, необходимо построить график равнозначной линеаризованной зависимости. Выполним линеаризацию уравнения (7), разделив обе его части на , получим:

Вычислим значения и (колонки 3 и 5 таблицы 1).
На графике 1 представлена линеаризованная зависимость .
Из графика видим, что экспериментальные точки расположились вблизи некоторой усредняющей прямой. Это подтверждает, что линеаризованная зависимость действительно является линейной. Значит уравнение (7) подтверждается, следовательно подтверждается и уравнение (9).

2.5

2.5 Введём в уравнении (10) следующие обозначения:

можно вычислить как свободное слагаемое в уравнении (10) или через угловой коэффициент наклона усредняющей прямой. Используя МНК определим и (таблица 1, колонки 4 и 5, третья строчка снизу) и абсолютные погрешности и (таблица 1, колонки 4 и 5, последняя строчка).
Из (11) получим:
$Ом мм мм Ом мм$
$Ом мм Ом мм мм мм$
$Ом мм Ом мм$

Из (12) получим:
$Ом мм$
$Ом мм$

2023-2024 учебный год

$Ом мм Ом мм$

Как видим, оба способа дают одинаковый результат с точностью до абсолютной погрешности, однако во втором случае результат определён с меньшей относительной погрешностью, следовательно способ по уравнению (12) предпочтительнее.

2.6

2.6

$Ом мм мм Ом$

$Ом мм Ом мм мм мм$

$Ом Ом$

$Ом$

2.7

2.7 Значения полного сопротивления реостата, указанные в п.п. 1.5, 2.7, считать равными нельзя, так как не попадает в интервал абсолютной погрешности . Причина в том, что различные экспериментальные способы могут давать разные результаты?

3.1

3.1 В данном случае часть намотки реостата и резистор $н$ соединены последовательно, параллельно им включена часть намотки реостата .

Их общее сопротивление можно выразить из уравнения:

$н$

После преобразований получим:

$н н н$

Из закона Ома для участка цепи

2023-2024 учебный год

Подставляя (8) в (23), получим:

$н н н$

3.2

3.2 Результаты измерений представлены в таблице 2 (колонки 1, 2. 4).

Таблица 2

1	2	3	4	5
, А	, В	, Ом	, мм	, Ом/мм
2,00	1,8	0,90	5,0	0,18
1,50	2,4	1,6	10	0,16
1,20	2,8	2,3	15	0,16
1,10	3,0	2,7	20	0,14
1,00	3,2	3,2	24	0,13
0,92	3,1	3,4	30	0,11
0,90	3,2	3,6	35	0,10
0,90	3,2	3,6	40	0,089
0,92	3,1	3,4	45	0,075
0,95	3,0	3,2	50	0,063
1,00	2,8	2,8	53	0,053
		Сред.	30	0,114
		Дисп.	242	0,00161
		Ковар.		-0,623

			-0,0026	0,191

			0,0001	0,004

График 2. Линеаризованная зависимость .

3.3

3.3 Так как уравнения (24) и (23) эквивалентны, то далее будем работать с уравнением (23).

Выполним линеаризацию уравнения (23), разделив обе его части на , получим:

$н н н$

Вычислим значения и (колонки 3 и 5 таблицы 2).

На графике 2 представлена линеаризованная зависимость .

2023-2024 учебный год

Из графика видим, что экспериментальные точки расположились вблизи некоторой усредняющей прямой. Это подтверждает, что линеаризованная зависимость действительно является линейной. Значит уравнение (23) подтверждается, следовательно подтверждается и уравнение (24).

3.4

3.4 Введём в уравнении (25) следующие обозначения:

$н н н$

$н$ можно вычислить используя уравнение (26) или (27). Воспользуемся уравнением (26), так как оно проще. Используя МНК определим (таблица 2, колонка 4, третья строчка снизу). Из (26) получим:

$н Ом мм Ом мм Ом мм мм Ом$

4.1

4.1 Зависимость по результатам п.2.3 представлена на графике 3.

4.2

4.2 Зависимость по результатам п.3.2 представлена на графике 4.

4.3

4.3 Сравнивая графики видим, что в случае п. 2.3 максимальное сопротивление участка, на котором измеряется сила тока и напряжение, $Ом$ достигается, когда ползунок реостата располагается на середине его намотки $мм$ . В случае п. 3.2 максимальное сопротивление участка, на котором измеряется сила тока и напряжение, $Ом$ достигается, когда ползунок реостата располагается в положении $мм$ . Видим, что максимум сопротивления смещается правее и выше. Такой сдвиг обусловлен влиянием сопротивления $н$ .