Звук и Гук — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 10 класс № 3

Из простых опытов (Рис. 1) следует, что механические взаимодействия (и звук в том числе) передаются в упругой среде (пространстве) от точки к точке не мгновенно, а переносятся упругими волнами с конечной скоростью $c\ (c < \infty)$ за некоторый конечный промежуток времени.

Интуитивно понятно, что скорость распространения упругих волн (звука) в данной среде определяется такими её механическими характеристиками, как упругость и инертность.

В рамках данного задания вам предстоит более подробно разобрать процесс распространения упругих волн (звука) на достаточно простых моделях.

Рассмотрим однородный упругий стержень (Рис. 2) начальной длиной и площадью поперечного сечения , к свободному концу которого приложили силу .

Под действием силы стержень удлинится (деформируется) на некоторую величину , называемую абсолютной деформацией образца (см. Рис. 2).

При деформации стержня в нем возникает обратная сила упругости $у$ , которая стремится скомпенсировать действие внешней силы .

Согласно закону Гука, проекция силы упругости $у$ , возникшая в стержне, при малых деформациях () есть

$у$ , (1)

где -- коэффициент упругости стержня.

Коэффициент упругости стержня зависит как от его «геометрии», так и от упругих свойств его материала

, (2)

где -- модуль Юнга (упругости) материала, из которого изготовлен стержень.

Модуль Юнга материала является табличным данным и измеряется в $Па Н м$ .

Действия силы тяжести и сил трения и сопротивления в данной задаче не учитывать.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: молярная газовая постоянная $Дж моль$ , молярная масса воздуха $г моль$ , скорость звука в воздухе при температуре равна $м с$ , -- греческая буква «кси».

1.1

1.1 Методом размерностей получите формулу (с точностью до безразмерного коэффициента ) для скорости звука в упругом стержне в зависимости его модуля упругости (Юнга) и плотности .

1.2

1.2 Выведите скорость звука в упругом стержне, рассмотрев изменение импульса стержня в процессе столкновения с недеформируемой стенкой. Установите значение безразмерного коэффициента .

1.3

1.3 Найдите силу давления $д$ стержня на стену, действующую в процессе удара (во время контакта стержня со стеной).

1.2

2.3

2.3 Запишем уравнение состояния идеального газа в форме Клапейрона--Менделеева

, (15)

где -- молярная маса газа, -- молярная газовая постоянная.

Выразим из (15) плотность газа

. (16)

Возьмем приращения от обеих частей (14) при изотермическом процессе ()

. (17)

Тогда отношение соответствующих приращений равно