Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
В данном задании вам необходимо проанализировать некоторые факты первых частей этой книги (путешествие в страну лилипутов и путешествие в страну великанов) с точки зрения физики.
Для анализа примем следующие предположения:
- лилипуты в
раз меньше Гулливера, а великаны в раз больше Гулливера; - как для лилипутов, так и для великанов, сохраняются все геометрические пропорции для размеров частей тела, в той же пропорции изменяются и размеры всех предметов;
- лилипуты и великаны состоят из тех же атомов и молекул, что и Гулливер, поэтому физические и химические свойства всех органов рассматриваемых существ одинаковы;
- физические характеристики окружающей среды (воздуха, воды и т.д.) одинаковы во всех странах;
- сила, которую может развить мышца, пропорциональна площади ее поперечного сечения.
Массу Гулливера примем равной
1. Механика
1.1. Массы тел
Нарисуй масштабную модель: как соотносятся линейные размеры лилипута и великана с размерами Гулливера?
Масса пропорциональна объёму тела, то есть объём масштабируется как куб линейного масштаба:
- Введи коэффициент масштабирования
(для лилипута , для великана ). - Запиши связь массы с масштабом:
. - Подставь соответствующие значения
для лилипута и для великана. - Вырази массы лилипута и великана через
и из полученной формулы.
1.1 Масса тела пропорциональная его объему, поэтому
Масса лилипута:
Масса великана:
1.1. Рассчитайте массы лилипута и великана.
Нарисуй масштабную модель: как соотносятся линейные размеры лилипута и великана с размерами Гулливера?
Масса пропорциональна объёму тела, то есть объём масштабируется как куб линейного масштаба:
- Введи коэффициент масштабирования
(для лилипута , для великана ). - Запиши связь массы с масштабом:
. - Подставь соответствующие значения
для лилипута и для великана. - Вырази массы лилипута и великана через
и из полученной формулы.
1.1 Масса тела пропорциональная его объему, поэтому
Масса лилипута:
Масса великана:
1.2. Перевозка Гулливера
- для перевозки Гулливера на обычной платформе достаточно одной обыкновенной лошади;
- На колеса платформы действуют силы трения качения, которые рассчитываются по формуле:
где- масса перевозимого груза вместе с платформой, - радиус колес, - ускорение свободного падения, - постоянный коэффициент трения качения.
Подумай, как меняется сила, которую может развить «лилипутская» лошадь, и как меняются радиусы колес под масштабированным телом.
При движении равновесие достигается, когда суммарная тяговая сила лошадей уравновешивает силу трения
- Запиши уравнение для одной обычной лошади:
. - Запиши уравнение для
лилипутских лошадей, учитывая, что их сила равна , а радиус колес платформы масштабирован как , и масса груза как . - Составь уравнение баланса сил для перевозки Гулливера лилипутскими лошадями.
- Вырази
из полученной системы уравнений.
1.2 Перевозка Гулливера.
При движении телеги сила тяги лошадей преодолевает силу трения. Поэтому в обычных условиях, когда одна обычная лошадь тянет телегу с одним Гулливером, справедливо уравнение:
Если сила, развиваемая обычной лошадью равна
Из уравнений (5)-(6) следует, что
1.2 Рассчитайте, сколько «лилипутских» лошадей надо использовать, чтобы перевезти Гулливера на платформе.
Подумай, как меняется сила, которую может развить «лилипутская» лошадь, и как меняются радиусы колес под масштабированным телом.
При движении равновесие достигается, когда суммарная тяговая сила лошадей уравновешивает силу трения
- Запиши уравнение для одной обычной лошади:
. - Запиши уравнение для
лилипутских лошадей, учитывая, что их сила равна , а радиус колес платформы масштабирован как , и масса груза как . - Составь уравнение баланса сил для перевозки Гулливера лилипутскими лошадями.
- Вырази
из полученной системы уравнений.
1.2 Перевозка Гулливера.
При движении телеги сила тяги лошадей преодолевает силу трения. Поэтому в обычных условиях, когда одна обычная лошадь тянет телегу с одним Гулливером, справедливо уравнение:
Если сила, развиваемая обычной лошадью равна
Из уравнений (5)-(6) следует, что
1.3. Прыжки в высоту
Гулливер, прыгая с места вертикально вверх, может подпрыгнуть на высоту
Примем следующую модель прыжка:
- человек приседает, а затем, развивая максимальные усилия мышц ног, выпрямляется; при этом центр масс движется вертикально (на этом этапе центр масс Гулливера поднимается на высоту
см); сила, развиваемая мышцами ног в процессе прыжка постоянна; - после того, как человек полностью выпрямился (и достиг при этом максимальной скорости), он отрывается от земли; именно от этого положении отсчитывается высота дальнейшего «полета»;
- сопротивлением воздуха следует пренебречь.
Подумай, откуда берётся энергия прыжка: какая работа совершают мышцы и как она превращается в подъём центра масс?
Запиши баланс работы мышц и прироста потенциальной энергии:
- Запиши уравнение для Гулливера:
. - Запиши аналогичное уравнение для масштабного существа, подставив
, , и неизвестную высоту . - Исключи
и/или между уравнениями, получив соотношение, связывающее с , и . - Вырази
из полученной системы.
1.3 Прыжки в высоту.
Используем закон сохранения энергии (работа мышц равна изменению потенциальной энергии тела):
Аналогичное уравнение для лилипута (великана) имеет вид
Из этих уравнений следует:
Поэтому высота прыжка лилипута равна
Если мы применим формулу (10) для великана, то получим
Однако, этот ответ не верный! Из уравнения (8) следует, то сила ног Гулливера равна
Тогда сила ног великана равна
А сила тяжести
что превышает силу ног. Поэтому великан не сможет поднять себя – он подпрыгнуть вообще не сможет!
1.3 Рассчитайте, на какую высоту могут подпрыгнуть с места лилипут и великан.
2. Термодинамика
В организме любого живого существа в результате процессов жизнедеятельности происходит постоянное выделение теплоты. Можно считать, что мощность выделяющейся теплоты пропорциональна массе тела. Эта теплота, благодаря процессам теплообмена, уходит в окружающую среду. Приближенно можно считать, что мощность теплоты, уходящей в окружающую среду, пропорциональна площади поверхности тела и разности температур тела и окружающей среды.
Примем, что температура тела Гулливера при ходьбе равна
Подумай, откуда берётся энергия прыжка: какая работа совершают мышцы и как она превращается в подъём центра масс?
Запиши баланс работы мышц и прироста потенциальной энергии:
- Запиши уравнение для Гулливера:
. - Запиши аналогичное уравнение для масштабного существа, подставив
, , и неизвестную высоту . - Исключи
и/или между уравнениями, получив соотношение, связывающее с , и . - Вырази
из полученной системы.
1.3 Прыжки в высоту.
Используем закон сохранения энергии (работа мышц равна изменению потенциальной энергии тела):
Аналогичное уравнение для лилипута (великана) имеет вид
Из этих уравнений следует:
Поэтому высота прыжка лилипута равна
Если мы применим формулу (10) для великана, то получим
Однако, этот ответ не верный! Из уравнения (8) следует, то сила ног Гулливера равна
Тогда сила ног великана равна
А сила тяжести
что превышает силу ног. Поэтому великан не сможет поднять себя – он подпрыгнуть вообще не сможет!
2.1 Рассчитайте температуры тел лилипута и великана в тех же условиях.
3. Оптика
Для обычного человека (т.е. Гулливера) расстояние наилучшего зрения равно 25 см. Если предмет находится на этом расстоянии от глаза, то на сетчатке глаза формируется четкое изображение предмета без напряжения зрачка.
Подумай, как меняются с масштабом выделяемая мощность и отдача тепла через поверхность.
Запиши тепловой баланс в общем виде: мощность выделения
- Запиши уравнение баланса для Гулливера:
. - Запиши аналогичное уравнение для масштабного существа:
. - Раздели второе уравнение на первое, упростив, чтобы получить соотношение между
и через . - Вырази температуру
тела лилипута/великана из полученного соотношения.
3.1 Чему равны расстояния наилучшего зрения для лилипута и великана?
Вспомни, что правило наилучшего зрения связано с геометрическими размерам органа зрения; как изменяются все линейные величины при масштабе?
В геометрической оптике все линейные параметры (длины, радиусы кривизны, фокусные расстояния) масштабируются пропорционально
- Обозначь для глаза Гулливера расстояние наилучшего зрения
. - Запиши, что для масштабного существа расстояние лучшего зрения равно
. - Подставь для лилипута и для великана соответствующие
(, и ). - Вырази расстояние наилучшего зрения
через и .
Похожие задачи
Подобие и размерность
В теории подобия для того, чтобы установить связь между “подобными” физическими явлениями, необходимо, для данного конкретного явления, найти …
У Р Б П ≈2/5 Т1
Колеблющиеся поплавки
Плотность воды
Задача 9-3
Задание 3. «Храбрый Мюнхгаузен»*
Согласно не дошедшим до наших дней военным рассказам широко известного барона, в одной из битв с крупным неприятелем …
Задача 9-5
Одним из основоположников современной физики по праву считается итальянский ученый Галилео Галилей. В начале XVII века он экспериментально исследовал …
У Р Б П ≈2/5 Т1
Подобие
Задание состоит из 3 независимых задач.
У Р Б П ≈2/5 Т2
Задача 11-2
По современным космологическим представлениям звезды возникают из газопылевых туманностей. Будем считать, что звезда образовалась, если в облаке …
У Р Б П ≈2/5