1. Вычислим силу взаимодействия между двумя атомами как функцию расстояния между ними
   
   Положению равновесия соответствует нулевая сила взаимодействия (или, что равносильно, минимум потенциальной энергии). Поэтому

равновесное расстояние между атомами (период решетки) найдем из условия , из которого следует

На один атом в кубической кристаллическое решетке приходится объем , следовательно плотность кристалла рассчитывается по формуле

Вычислим энергию связи, приходящуюся на один атом. Так как атом взаимодействует с ближайшими соседями, то его потенциальная энергия

где учтено, что функция описывает энергию взаимодействия двух атомов. Для перехода из кристаллического в газообразное состояние нужно сообщить кристаллу энергию, необходимую для разрыва всех связей, иными словами, удельная теплота сублимации рассчитывается по формуле

При отклонении атомов от положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть атомы в исходное положение. При малых деформациях эта сила пропорциональна деформации. Для ее вычисления преобразуем формулу (1) при условии , где - малое отклонение от положения равновесия. В ходе преобразований необходимо использовать приближенную формулу, приведенную в условии задачи с учетом членов первого порядка малости

В поперечном сечении кристалла на один атом приходится площадь , следовательно, механическое напряжение в кристалле определяется формулой

Сравнивая с законом Гука (где - относительная деформация), получим выражение для модуля Юнга

Сила взаимодействия между атомами принимает максимальное значение при некотором расстоянии . Если расстояние между атомами превысит , то сила взаимодействия (притяжения) начнет уменьшаться и, следовательно, при постоянной внешней силе кристалл разрушится. Найдем значение из условия :

Из уравнения (9) находим расстояние , при котором сила притяжения максимальна

Таким образом, максимальное относительное удлинение кристалла до разрушения определяется соотношением

При таком удлинении сила взаимодействия и соответствующее механическое напряжение (которое и является предельной прочностью) определяются формулой

Термическое расширение твердых тел связано с увеличением кинетической энергии колеблющихся атомов. С ростом температуры увеличивается диапазон изменения расстояний между атомами. Существенным фактором является несимметричность потенциальной кривой - максимальное отклонение от положения равновесия в большую сторону превышает отклонение в меньшую сторону. Обозначим максимальное и минимальное расстояния между атомами в ходе колебаний и , соответственно. Тогда среднее расстояние между атомами может быть оценено как среднее арифметическое между этими величинами. Расстояния и являются корнями уравнения

где - средняя энергия одномерного колебательного движения атомов в кристаллической решетке ( - постоянная Больцмана, - абсолютная температура). Если обозначить и принять во внимание формулу (20), то уравнение (13) примет вид

корни которого находятся по формуле

Теперь можно найти значения и :

где обозначено и использовано разложение степенной функции с учетом членом второго порядка малости. Среднее расстояние между атомами найдем, усредняя и :

Сравнивая выражение (17) с формулой термического расширения , находим линейный коэффициент термического расширения