Задача 11-3

Условие

Республиканская олимпиада 2005 11 класс № 3

Задача 11-3. «Магнитная регулировка»
В данной задаче исследуется возможность управлением течением жидкости с помощью магнитного поля. В качестве жидкости используется растительное масло, смешанное с мелкими железными опилками. Эта смесь протекает по длинной узкой горизонтальной трубке, которая проходит через тонкую кольцевую катушку, по которой пропускают постоянный электрический ток. Ось катушки совпадает с осью трубки.

Параметры устройства:

внутренний радиус трубки $мм$ ;
радиус катушки $см$ ; катушка содержит витков;
опилки можно считать железными шариками диаметром $мм$ , плотность железа $кг м$ ; ускорение свободного падения $м с$ ;
плотность масла $кг м$ ;
концентрация опилок в неподвижном масле $штук мм$ ;
на концах трубки поддерживается постоянная разность давлений $кПа$ ;
магнитная проницаемость масла равна 1, магнитная постоянная $Гн м$ .

При отсутствии электрического тока в катушке расход масла (объем, протекающий через трубку в единицу времени) постоянен и равен $см мин$ .

Скорости движения различных слоев масла внутри трубки различаются и зависят от расстояния до оси. Однако, для упрощения задачи будем считать, что скорость течения постоянна в поперечном сечении (см. также примечание к задаче 1.2). Также будем считать, что сила, действующая на отдельную частицу со стороны магнитного поля, зависит только от расстояния до катушки и не зависит от расстояния до оси.

Часть 1. «Магнитное поле»

1.1 Покажите, что модуль вектора индукции магнитного поля на оси катушки на расстоянии от ее центра определяется формулой

где — сила тока в катушке. Вычислите значение величины при силе тока в катушке .

1.2 Можно, считать, что проекция вектора индукции на ось катушки на заданном расстоянии от центра остается постоянной в поперечном сечении на небольшом расстоянии от оси. Найдите радиальную составляющую вектора магнитной индукции , как функцию расстояний до центра катушки и до ее оси .

Часть 2. «Опилки»

2.1 При движении опилок в масле на отдельную частицу действует сила сопротивления,, которая пропорциональна диаметру частицы и ее относительной скорости

Определите численное значение параметра , если известно, что скорость оседания опилок в неподвижном масле равна $мм с$ .
В дальнейшем используйте обозначение этой величины и ее численное значение.

2.2 При помещении опилок в магнитное поле, каждая частица приобретает наведенный магнитный момент , где - объем частицы, - магнитная восприимчивость материала, которая для используемых опилок равна . Магнитным гистерезисом материала опилок и их взаимодействием следует пренебречь.
Покажите, что сила, действующая на отдельную частицу пропорциональна квадрату силы тока в кольце.
Простейшей системой, обладающей магнитным моментом является контур с током, магнитным моментом такого контура является произведение площади контура на силу тока в нем .

2.3 Найдите зависимость силы, действующей на отдельную частицу опилок со стороны магнитного поля кольца, от расстояния до центра кольца, при силе тока в катушке . Считайте, что частица находится на оси системы. Постройте график этой зависимости.

Для дальнейших расчетов сделаем еще одно упрощение – будем считать, что сила притяжения опилок к центру кольца постоянная и равна на расстоянии равном , а на больших расстояниях пренебрежимо мала. В качестве величины возьмите половину максимального значения силы , а в качестве - удвоенное расстояние от центра кольца, до точки, в которой сила максимальна.

Определите численное значение величины , а также коэффициент пропорциональности между параметром и квадратом силы тока в кольце .
Также в дальнейшем используйте эти параметры и их численные значения.

Часть 3. «Течение и расход»

3.1 Найдите зависимость концентрации опилок в потоке масла от расстояния до центра кольца при скорости течения масла равной .

3.2 Какую дополнительную разность давлений на масло создает сила магнитного взаимодействия опилок с полем кольца при скорости течения масла равной ?

3.3 Чему равно относительное изменение расхода масла , при силе тока через катушку ? Как зависит относительное изменение расхода масла от силы тока в катушке?