Условие

Республиканская олимпиада 2025 11 класс № 2

Описание магнитных полей и магнитных взаимодействий является математически более сложной задачей, чем описание электростатических взаимодействий. Во многом это связано с отсутствием точечных магнитных зарядов, из-за чего простейшим источником магнитного поля является магнитный диполь. Однако, во многих задачах можно формально (но математически корректно) ввести точечные магнитные заряды, не забывая при этом, что реально существующие источники магнитного поля имеют нулевой суммарный магнитный заряд. Такой подход используется в данном задании при расчете магнитных полей, создаваемых постоянными магнитами, и характеристик их взаимодействия.

Теоретическое введение.

Согласно современным представлениям магнитное поле постоянных магнитов создается токами намагничивания, протекающими по поверхности намагниченного тела (эта идея первоначально была сформулирована А.М. Ампером и часто называется гипотезой Ампера).

Таким образом, поле небольшого цилиндрического магнита эквивалентно полю кругового тока. В качестве основной характеристики витка с током выступает магнитный момент, который равен

где - сила тока в контуре, - площадь этого контура.
Альтернативный подход к описанию поля цилиндрического магнита является рассмотрение поля магнитного диполя – частицы, состоящей из двух точечных противоположных магнитных зарядов ( и ), находящихся на малом расстоянии друг от друга. Магнитный момент в этом случае определяется как

Отметим, что оба способа описания магнитных полей справедливы для точек, расстояние до которых от источников (магнита, кольца с током, магнитного диполя) значительно больше размеров самих источников. Считайте, что это условие выполняется во всех пунктах данной задачи.

Точечный магнитный заряд создает центральное магнитное поле, модуль вектора индукции которого определяется по закону, аналогичному закону Кулона для электростатических полей

здесь - расстояние от точечного заряда, то точки, в которой рассчитывается поле, Гнм - магнитная постоянная.

На точечный магнитный заряд со стороны магнитного поля с индукцией действует сила, равная

Основной характеристикой постоянных магнитов является остаточная намагниченность , которая определяется как магнитный момент единицы объема .

Эта величина обычно указывается в паспорте магнита. Вместо остаточной намагниченности также приводят величину , которая называется остаточная индукция (т.е. индукция магнитного поля внутри магнита).

Еще раз подчеркнем, в настоящее время магнитных зарядов не обнаружена, поэтому величины магнитных зарядов не должны входить в конечные результаты, которые должны выражаться через реальные характеристики магнитов – их магнитный момент и намагниченность .

Часть 1. Характеристики магнита.

В данной задаче рассматривается постоянный цилиндрический неодимовый магнит со следующими характеристиками:
диаметр магнита мм;
высота магнита мм;
остаточная индукция поля магнита Тл и направлена вдоль оси магнита;
плотность материала магнита кгм.

1.1 Рассчитайте массу магнита .

1.2 Рассчитайте магнитный момент магнита .

1.3 Рассчитайте силу тока намагничивания, текущего по боковой поверхности магнита .

Часть 2. Магнитное поле магнита.

Рассмотрите магнитное поле, создаваемое точечным магнитным зарядом . Точечный заряд находится в начале отсчета оси . Положение произвольной точки задается координатой и расстоянием до этой оси . В этом случае вектор индукции магнитного поля разумно разложить на две компоненты: осевую , направленную параллельно оси ; радиальную , направленную перпендикулярно оси.

2.1 Запишите формулы для осевой и радиальной компонент вектора индукции поля точечного заряда, как функции координат точки .

Теперь Вам необходимо рассмотреть магнитное поле, создаваемое описанным цилиндрическим магнитом. Для расчета этого поля можно считать, что оно совпадаетм с магнитным полем магнитного диполя.

2.2 Нарисуйте схематически картину силовых линий магнитного поля, создаваемого магнитным диполем (цилиндрическим магнитом).

Пусть в начале оси находится магнитный диполь с магнитным моментом , направленным вдоль оси . Положение произвольной точки , как и ранее, задается координатами .

2.3 Найдите зависимость осевой компоненты индукции поля магнитного диполя , от координат точки .

2.4 Постройте схематический график зависимости осевой компоненты вектора индукции от координаты при некотором фиксированном значении координаты .

2.5 Найдите зависимость индукции поля на оси в зависимости от координаты - .

2.6 Найдите зависимость радиальной компоненты индукции поля магнитного диполя , от координат точки .

2.7 Постройте схематический график зависимости радиальной компоненты вектора индукции от координаты при некотором фиксированном значении координаты .

2.8 Найдите значения модуля координаты , при котором модуль функции принимает максимальные значения . Найдите, чему равно это максимальное значение.

Примечания.

  1. Вы можете построить схематические графики, даже если вам не удалось получить явные функциональные зависимости – это будет оценено!
  2. Для облегчения вашей работы дадим математическую подсказку. Если величина мала, то для расчета поля диполя Вы можете использовать следующее приближение, справедливое для любой функции

    где - производная функции , вычисленная в точке .
  3. При необходимости Вы можете использовать приближенную формулу

    справедливую при и любых степенях .

Часть 3. Притяжение и отталкивание.

Два одинаковых цилиндрических магнита помещены в вертикальную стеклянную трубку. Магнит 1 закреплен, магнит 2 может свободно двигаться вдоль трубки. Расстояние между магнитами можно считать значительно больше размеров магнитов. Ускорение свободного падения считать равным мс. Ответы выразите через магнитный момент магнитов и их массу .

3.1 Найдите зависимость силы магнитного взаимодействия между магнитами, как функцию расстояния между ними.

3.2 Найдите, при каком расстоянии между магнитами , магнит 2 может находиться в равновесии. Рассмотрите два случая, а) и б) ориентации магнитов, показанные на рисунке.

3.3 Укажите, какой из экспериментов, а) или б) может быть продемонстрирован экспериментально. Ответ кратко обоснуйте.

3.4 Рассчитайте численное значение равновесного расстояния , для магнитов, параметры которого приведены в Части 1.

Часть 4. Магнитная вязкость – токи Фуко.

Цилиндрический магнит помещают внутрь длинной вертикальной тонкостенной алюминиевой трубки. Внутренний радиус трубки равен мм, толщина стенок равна мм. Удельное электрическое сопротивление алюминия равно Омм. По-прежнему, считаем массу магнита и его магнитный момент известными.
Пусть скорость движения магнита постоянна и равна . Выделим на стенке трубки тонкий слой толщиной , находящийся на расстоянии от середины магнита. В пп. 4.1 – 4.4 ответы выразите через параметры магнитного поля и , найденные в п. 2.8.

4.1 Найдите силу индуцированного тока , протекающего по выделенному кольцу .

4.2 Найдите мощность теплоты, выделяющейся в трубке при движении магнита.

4.3 Найдите силу вязкого магнитного трения, действующую на движущийся магнит.

4.4 Найдите скорость установившегося падения магнита в трубке .

4.5 Рассчитайте численное значение скорости падения магнита, характеристики которого приведены в Части 1.

Примечание.
Зависимость радиальной составляющей магнитного поля магнита на стенке трубки можно приближенно заменить на ступенчатую функцию, показанную на рисунке. Используйте параметры этой функции и , найденные в п. 2.8.
Если вам не удалось найти ответы в п.2.8, то в данной части считайте их известными.

Т3 Задача 11-3

Задача 11-3. «Магнитная регулировка»*
В данной задаче исследуется возможность управлением течением жидкости с помощью магнитного поля. В качестве …

 РеспубликанскаяРесп. 2005 11 кл. Сила тяжести и вес телаВязкое трение и сопротивление средыЗакон Архимеда, плавание тел У Р Б П ≈4/5 Т2 Магнитное динамо

Теория возникновения и существования магнитного поля Земли до настоящего времени окончательно не разработана. В данном задании вам предстоит …

 РеспубликанскаяРесп. 2024 11 кл. Движение по окружностиНеинерциальные системы отсчётаНапряжённость поля. Принцип суперпозиции У Р Б П ≈4/5 Т1 Задача 11-1
  1. Край соленоида
    В цилиндрической катушке длины и радиуса с числом витков индукция магнитного поля в любой точке с координатой на оси …
 РеспубликанскаяРесп. 2014 11 кл. Статика: условия равновесияСухое трениеЗакон Кулона У Р Б П ≈4/5 Т2 До какой же степени..?

Простейшей моделью заряженного тела является точечный заряд. Помимо этой модели в прикладной электростатике широко используются и другие модели …

 РеспубликанскаяРесп. 2010 10 кл. Закон КулонаНапряжённость поля. Принцип суперпозицииЭлектрический диполь У Р Б П ≈4/5 Т1 Задача 11-1

Задача 1. (20 баллов) Диамагнитные свойства кристалла определяются свойствами атомов, из которых образован данный кристалл.
В качестве модели …

 Городская3-й этап 2001 11 кл. Движение по окружностиВращательное движение. Момент силыМодель сплошной среды. Плотность У Р Б П ≈4/5 Т2 Электромагнитная сила Кориолиса

Небольшой стальной шарик массы подвешен на нити длиной . Данную систему можно рассматривать как математический маятник, совершающий малые …

 Городская3-й этап 2013 11 кл. Законы динамики НьютонаУстойчивость, ветви равновесия и срывНеинерциальные системы отсчёта У Р Б П ≈4/5
Нужна подсказка? →