Нарисуй цилиндр и выпиши, какие величины заданы геометрически и какие — свойством материала.

Масса равна плотности, умноженной на объём тела: используй формулу для объёма цилиндра и плотность .

1. Запиши объём цилиндра через диаметр и высоту .
2. Запиши массу как .
3. Подставь выражение для в формулу для .
4. Вырази алгебраически.

Подумай, как связаны намагниченность объёма и магнитный момент всего магнита.

Магнитный момент объёма даёт суммарный магнитный момент: , причём связывает остаточную индукцию и намагниченность.

1. Вырази намагниченность через остаточную индукцию: .
2. Запиши объём цилиндра (как в 1.1).
3. Подставь и в .
4. Вырази алгебраически.

Вспомни, как определяется магнитный момент контура с током и как это соотносится с эквивалентной поверхностной циркуляцией намагничивания.

Магнитный момент контура равен , где — площадь контура (для боковой поверхности эквивалентной витковой площади можно взять соответствующий контур).

1. Определи, какую площадь использовать в соотношении для данного цилиндра (вспомни определение магнитного момента через ток и площадь контура).
2. Запиши .
3. Вырази через , и геометрические размеры через связь .
4. Оставь итог как выражение через заданные параметры.

Представь себе магнитный диполь — куда выходят силовые линии из «пола» и куда входят в «противоположный» полюс?

Это поле диполя: линии выходят из северного полюса, огибают диполь и входят в южный; на больших расстояниях картина симметрична диполю.

1. Нарисуй диполь вдоль оси и изобрази замкнутые силовые линии, выходящие из одного конца и входящие в другой.
2. Обозначь направления поля на оси и вне оси (включая знаки проекций).
3. Отметь точки, где проекция на ось меняет знак (например, на некотором радиусе при фиксированном ).
4. Получившийся рисунок используй для качественных графиков в следующих пунктах.

Аналогично осевой компоненте: получи радиальную компоненту как разность соответствующих компонент двух точечных зарядов.

Запиши диполя как и разложи второе слагаемое в ряд по малому ; затем используй .

1. Запиши .
2. Подставь из пункта 2.1: .
3. Вычисли производную по и упрость, выразив через , и .
4. Оставь итог как алгебраическое выражение.

Подумай, какая сила действует на магнитный диполь, помещённый в неоднородное магнитное поле вдоль его оси.

Сила на диполь в ненёхождённом поле даётся проекцией градиента энергии; для оси: (с учётом направления ориентации диполя относительно поля).

1. Возьми выражение , найденное в 2.5, как поле одного магнита в точке другого.
2. Вычисли производную по .
3. Запиши силу как и укажи знак в зависимости от ориентации магнитных моментов.
4. Вырази алгебраически через , и .

Равновесие достигается, когда магнитная сила компенсирует силу тяжести: подпиши уравнение равновесия для двух ориентаций магнитов.

Поставь условие равновесия (учти знак в зависимости от притяжения/отталкивания).

1. Запиши уравнение (плюс/минус для разных ориентаций).
2. Подставь выражение для из 3.1.
3. Реши полученное уравнение относительно расстояния (оставь выражение в алгебраическом виде).
4. Укажи, как знак влияет на физическую реализуемость решения (стабильность/неустойчивость).

Оцени устойчивость и физическую реализуемость полученных равновесий: какие конфигурации дадут устойчивое равновесие?

Рассмотри знак зависимости силы от смещения: устойчивое равновесие требует, чтобы при малом смещении сила возвращала магнит в равновесие (производная силы по смещению должна иметь нужный знак).

1. Проанализируй знак для двух ориентаций в точке равновесия.
2. Определи, при какой ориентации малые отклонения приводят к возвращающей силе (стабильность).
3. Сформулируй короткое заключение, какой опыт возможен на практике и почему (учти вес магнитов).
4. Оставь обоснование без числовых подстановок.

Сила магнитного трения связана с тем, что электрические потери — это работа сил сопротивления над магнитом: мощность равна силе трения, умноженной на скорость.

Используй связь ; из найденной вырази силу трения как .

1. Возьми выражение для полной мощности из 4.2.
2. Раздели на и получи в виде интеграла/суммы по кольцам.
3. Упростив с учётом ступенчатой аппроксимации поля, вырази через , , геометрию и электропроводность.
4. Оставь итог в алгебраическом форме.