Взаимодействия цилиндрических магнитов — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2025 11 класс № 2

1.1

1.1 Так как, плотность и геометрические размеры цилиндрического магнита заданы, то расчет его массы труда не представляет:

$к г$

1.2

1.2 Магнитный момент магнита рассчитывается по определению намагниченности

Используя заданную связь между намагниченностью и остаточной индукцией , получим требуемый результат

$А м$

1.3

1.3 Расчет силы тока намагничивания можно провести по формуле магнитного момента, выражаемого через силу тока намагничивания

Численный расчет можно провести по любой из приведенных формул

$А$

Поразительно, удивительно, но...

2.1

2.1 Требуемые компоненты индукции поля точечного магнитного заряда находятся из формулы «типа Кулона» и рисунка:

2.2

2.2 Картина силовых линий магнитного диполя (поля линейного магнита, поля кругового тока, поля Земли и т.д.) приводится во всех учебниках физики, начиная с детского сада.

2.3

2.3 Для решения данного пункта задачи можно воспользоваться подсказкой, приведенной в условии. Второй подход – используя принцип суперпозиции, записать точное выражение для индукции поля и провести разложение полученного выражения по малому параметру . Здесь приведено решения по первому, более короткому пути.

Аккуратное вычисление производной от функции (5) приводит к результату:
$\tag not allowed in aligned environment\begin{aligned} B_z(z,r) &= -\left(B_z^{(0)}(z,r)\right)'_z \cdot a = -\frac{\mu_0 q_m a}{4\pi} \left( \frac{z}{(z^2 + r^2)^{3/2}} \right)' = \\ &= -\frac{\mu_0 q_m a}{4\pi} \frac{(z^2 + r^2)^{3/2} - z \frac{3}{2}(z^2 + r^2)^{1/2} \cdot 2z}{(z^2 + r^2)^3} = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi} \frac{2z^2 - r^2}{(z^2 + r^2)^{5/2}} \tag{8} \end{aligned}$

2.4

2.4 Схематический график этой функции можно построить на основе качественного анализа (функция четная, нули функции при , очевидны участки монотонности, стремление к нулю с отрицательно стороны при ). Результат построения показан на рисунке.

Данный график можно построить и на
основании анализа картины силовых линий –
просто рассматривая знак проекции вектора
индукции поля (как показано на следующем
рисунке).

2.5

2.5 Значения индукции поля на оси можно получить, полагая в формуле (8):

2.6

2.6 Радиальная компонента поля рассчитывается аналогично (и несколько проще):

2.7

2.7 График этой функции также строится на основе качественного анализа (функция
нечетная: обращается в нуль при ; стремиться к нулю при ). Результат – на
рисунке.

Схематический график этой зависимости можно также построить на основании анализа картины силовых линий (см. рисунок).

2.8

2.8 Поиск экстремумов функции проводится стандартным методом – в точках экстремумов производная функции обращается в нуль. Поэтому вычислим производную от функции (10) и приравняем ее к нулю:

Из полученного уравнения следует, что положение экстремума . Значения функции в экстремуме равно

Здесь безразмерная константа равна .
Таким образом, полный ответ на вопросы данного пункта:

3.1

3.1 Рассмотрим магнитный диполь, находящийся в неоднородном магнитном поле . Ось диполя совпадает с направлением поля (что соответствует условию рассматриваемой задачи). В этом случае суммарная сила, действующая на диполь, равна

Учитывая малость величины , это выражение можно преобразовать к виду

где - производная от зависимости индукции поля по координате. Зависимость индукции поля на оси от координаты задается формулой (9). Поэтому сила взаимодействия между магнитами равна

3.2

3.2 При ориентации магнитов, указанной на рис. а), сила магнитного отталкивания уравновешивает силу тяжести:

Из этого уравнения находим искомое расстояние

3.3

3.3 Реализовать экспериментально можно только вариант, а), так как в этом случае положение равновесия является устойчивым. В случае б) положение равновесия неустойчивое.

3.4

3.4 Подстановка ранее найденных численных значений параметров в формулу (17) приводит к результату:
$см$

4.1

4.1 При движении магнита в каждой точке стенке трубки изменяется магнитное поле, в следствие чего в ней возникают электрические токи, называемые тока Фуко. Для расчета их характеристики удобно перейти в систему отсчета, связанную с магнитом. В этой системе трубка движется магнитном поле, поэтому источником ЭДС является сила Лоренца, действующая на заряды, которая возникает благодаря радиальной составляющей индукции поля магнита. Сила Лоренца направлена по касательной к поверхности трубки. Величина этой силы равна

Соответственно, ЭДС, возникающая в контуре, охватывающем трубку равна

Теперь с помощью закона Ома определим силу тока

Наконец, воспользуемся рекомендуемым приближением для функциональной зависимости радиальной составляющей поля:

4.2

4.2 Ток возникает во всех частях трубки, в которых имеется радиальное магнитное поле. В рамках используемого «ступенчатого» приближения радиальная составляющая имеется в полосе шириной . Отметим, что направление тока не существенно, так как мощность выделяющейся теплоты не зависит от направления тока. Поэтому можно записать, что «эффективная» сила тока равна