2.1. «Средняя температура»

Рассмотрим некую планету (условимся называть её Землёй), радиусом , вращающуюся по круговой орбите радиусом вокруг звезды (условно Солнца) радиусом и температурой поверхности .

Определите поток излучения Солнца (солнечную постоянную) (т.е. энергию, проходящую за единицу времени через площадку единичной площади, перпендикулярную световым лучам) вблизи поверхности Земли.

Земля представляет собой твердый шар с очень большой теплопроводностью. Определите среднюю температуру Земли .

И Солнце, и Землю считайте абсолютно черными телами.

По закону Стефана-Больцмана, энергия, излучаемая с единицы площади абсолютно черного тела за единицу времени равна , где постоянная Стефана-Больцмана .

2.2. «Весна, лето, осень, зима и снова весна»

На Земле наблюдается смена времен года. Для объяснения этого явления рассмотрим другую модель Земли: будем считать (как это есть на самом деле), что земной шар не успевает ни прогреваться, ни промерзать из-за низкой теплопроводности. Поэтому его теплоемкость определяется только тем слоем, температура которого успевает измениться при смене времен года. Для оценки теплоемкости считайте, что вода прогревается однородно до глубины , а более глубокие слои не греются. Ось вращения Земли наклонена к плоскости её орбиты под углом . Воображаемая линия «экватор» делит Землю на северное и южное полушарие. Переносом тепла через экватор можно пренебречь.

Среднесуточная мощность солнечного излучения, падающая на северное полушарие зависит от времени года (если отсчет вести от самого длинного дня), приблизительно как , где – площадь северного полушария.

2.2.1 Определите постоянную . Оцените постоянные и .

2.2.2 Найдите зависимость среднесуточной температуры северного полушария от времени года .

2.2.4 Найдите задержку во времени между самым длинным и самым теплым днем года. Плотность воды равна , удельная теплоемкость . Считайте, что вода полностью поглощает все излучение, падающее на неё. Период движения Земли вокруг Солнца равен .

*Примечания.

1. Площадь круга равна* *. Площадь поверхности сферы равна* .

2) Если смотреть на круг сбоку, то он виден как эллипс.
3) Площадь эллипса равна , где и – большая и малая полуоси эллипса.
4) Справедливы следующие тождества


5) При справедливо выражение .
6) .

2.3. «Парниковый эффект»

Согласно формуле Планка, интенсивность излучения абсолютно черного тела, приходящаяся на интервал длин волн от до равна

где – экспонента (), м/с – скорость света в вакууме, Дж·с – постоянная Планка, Дж/К – постоянная Больцмана, – температура абсолютно черного тела.

В данном пункте вернемся к модели Земли, как шара с очень большой теплопроводностью. Кроме того, у Земли есть газовая атмосфера, полностью поглощающая излучение с длиной волны от мкм до мкм. Считайте, что теплообмен между поверхностью Земли и ее атмосферой осуществляется только посредством излучения. Температуру атмосферы считайте постоянной, не зависящей от ее высоты.

Из-за того, что температуры Солнца и Земли различны, их спектры излучения лежат в разных диапазонах длин волн, и атмосфера поглощает излучение Солнца и Земли по-разному.

2.3.1 Оцените суммарный коэффициент поглощения атмосферой излучения Солнца и излучения Земли .

2.3.2 Определите среднюю температуру земной поверхности в рамках данного приближения.

2.4. «Ядерная зима или почему вымерли динозавры»

В результате извержения крупного вулкана атмосфера Земли наполнилась дымом (мелкими частицами пыли и сажи) и стала частично непрозрачна для любого излучения (степень зачернённости атмосферы ), помимо полного поглощения излучения с длинами волн от мкм до мкм.

2.4.1 Определите среднюю температуру земной поверхности в этом случае.