Подумай, какая часть излучения Солнца проходит через сферу радиуса орбиты и как Земля «ловит» кусок этого потока. Нарисуй распространение лучей от Солнца до Земли и вид Земли со стороны Солнца.

Запиши мощность, излучаемую всей поверхностью Солнца по закону Стефана–Больцмана; используй сохранение мощности при распространении на сферической поверхности радиуса орбиты, затем сравни мощность, падающую на видимый диск Земли, с мощностью, которую излучает вся поверхность Земли как черное тело.

1. 1. Запиши полную мощность излучения Солнца через и площадь его поверхности.
2. 1. Используй, что эта мощность равномерно распределена по поверхности сферы радиуса и найди поток на орбите.
3. 1. Вырази падающую на Землю мощность как поток на площадь видимого с Солнца круга радиуса и запиши мощность излучения Земли через её полную поверхность и .
4. 1. Составь уравнение баланса падающей и излучаемой мощностей и выразите из полученной системы.

Вспомни, как быстро Земля делает полный обход вокруг Солнца и как это связано с угловой частотой. Подумай, от каких двух крайних положений зависит проекция северного полушария.

Поставь угловую частоту как делённое на период обращения Земли; оцени амплитудную и среднюю составляющие падающей мощности через значения площади проекции в самый длинный и самый короткий день.

1. 1. Запиши через период как .
2. 1. Вырази максимальную и минимальную площади проекции северного полушария через и угол наклона оси (используя рисунок и симметрию).
3. 1. Приравняй эти мощности к и реши систему для и .
4. 1. Полученные и оставь в виде выражений (выразите и из полученной пары уравнений).

Подумай, как тепло накапливается в тонком прогреваемом слое и как это вместе с излучением задаёт динамику температуры; представь, что внешняя сила — гармоническая по времени.

Запиши уравнение энергетического баланса для северного полушария: изменение внутренней энергии слоя плюс излучение равны падающей мощности; ищи решение в виде среднего и маленькой гармонической при ненулевой теплоёмкости.

1. 1. Составь дифференциальное уравнение: (мощность излучения на единицу площади) , где учти фактор площади при переходе к уравнению на единицу площади.
2. 1. Предположи вид решения с и подставь в уравнение.
3. 1. Разверни в первый порядок по малому параметру и разложи синусы/косинусы по сумме аргументов.
4. 1. Сгруппируй коэффициенты при синусе и косинусе и получи систему алгебраических уравнений для ; выразите эти величины из полученной системы.

Подумай, почему максимум температуры отстает по фазе от максимума падающей мощности и от какой величины это зависит.

Воспользуйся линейной системой для амплитуды и сдвига фазы, полученной при решении гармонической задачи (уравнения для синуса и косинуса), и вырази сдвиг фазы через параметры теплоёмкости и коэффициента релаксации.

1. 1. Из системы для и выпиши уравнения, связывающие и с (как в опубликованном решении).
2. 1. Раздели уравнения, чтобы получить отношение тангенса фазы через известные коэффициенты; вырази .
3. 1. Переход от фазового сдвига к задержке времени: найдите .
4. 1. Подставьте найденное и выразите в виде функции (выразите из полученной системы).

Сравни, в каких длинах волн излучают Солнце и Земля; подумай, насколько атмосфера поглощает их спектры в указанном окне 8–12 мкм.

Оцени суммарный коэффициент поглощения как долю мощности, приходящейся на поглощаемый диапазон: для каждой температуры проинтегрируй или приближённо оцените долю излучения в указанном интервале, пользуясь Планком или суждением о смещении максимума по длинне волны.

1. 1. Определи, в каком диапазоне длин волн сосредоточено почти всё излучение Солнца и Земли (сопоставь спектральные пики по температуре).
2. 1. Оцени долю мощности, которую поглощает атмосфера для излучения Солнца () и для излучения Земли () как отношение излучения в интервале m к полной излучаемой мощности для соответствующей температуры.
3. 1. Для грубой оценки используй, что для Солнца этот интервал — несущественен, а для Земли он охватывает значительную часть её инфракрасного излучения; запиши и в виде оценочных выражений (выразите и из сравнения спектральных долей).
4. 1. Оставь численные значения как результаты оценки (выразите коэффициенты через доли спектра).

Сравни, в каких диапазонах длин волн дают основной вклад излучения Солнце и поверхность Земли. Подумай, какая часть спектра Земли попадает в поглощающий атмосферу интервал 8–12 мкм и какая часть спектра Солнца — в тот же интервал.

Запиши баланс энергий для земной поверхности, учитывая, что часть падающей солнечной энергии проходит через атмосферу, а часть излучения Земли поглощается атмосферой. Для суммарной мощности излучения используй закон Стефана–Больцмана для поверхности и учти коэффициенты поглощения A0 и A1, найденные через интегралы Планка по соответствующим диапазонам.

1. Оцени A0 и A1 как доли полной излучаемой мощности Солнца и Земли, полученные интегрированием спектра Планка по соответствующим длинам волн.
2. Запиши приходящую на поверхность мощность от Солнца с учётом A0 и геометрического фактора (солнечная постоянная умноженная на проекцию).
3. Запиши мощность, которую поверхность теряет излучением, учитывая, что атмосфера поглощает долю A1 этого излучения и возвращает её поверхности/пространству согласно модели.
4. Составь уравнение баланса между поступающей и уходящей мощностью и вырази из полученной системы температуру поверхности .

Подумай, как полная зачернённость атмосферы для всего спектра (кроме уже полностью поглощаемого окна) изменит поток, доходящий до поверхности и уходящий в космос.

Учти, что теперь атмосфера частично непрозрачна для всех длин волн с коэффициентом затенения и по-прежнему полностью поглощает 8–12 мкм; запиши модифицированный энергетический баланс поверх- атмосфера — космос по той же схеме, что и в пункте 2.3.2.

1. 1. Учитывая зачернённость , пропиши, какая доля солнечной и поверхностной радиации достигает поверхности и уходит в космос.
2. 1. Сформулируй уравнение баланса для атмосферы и для поверхности с новыми коэффициентами поглощения/пропускания (с учётом и полного поглощения окна 8–12 мкм).
3. 1. Составь систему двух уравнений для и и упростите, используя симметрию переизлучения атмосферы вверх/вниз.
4. 1. Решите систему алгебраически до выражения для (выразите из полученной системы).