В предложенной задаче вам предстоит разобраться с двумя явлениями, связанными с действием магнитного поля на электрические свойства проводников: эффект Холла и магнетосопротивление.

Эффект Холла - возникновение в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, электрического поля в направлении, перпендикулярном и вектору плотности тока и вектору индукции магнитного поля.

Магнетосопротивление - изменение удельной проводимости проводника во внешнем магнитном поле.

Как известно, в металлах носителями тока являются свободные электроны (заряд , масса ). В отсутствие каких либо направленных сил, действующих на электроны, все направления движения последних равновероятны. Т.е. электроны находятся в беспорядочном движении подобно молекулам газа. Соответственно для свободных электронов можно ввести понятие средней длины свободного пробега, средней скорости хаотического движения и среднего времени свободного пробега .

Под действием направленной силы на беспорядочное движение электронов накладывается систематическое (дрейфовое) движение. В классическом рассмотрении предполагается, что при наличии внешней силы электрон ускоряется в направлении действия силы в течение времени , а затем, испытав соударение (рассеяние), совершенно «забывает» о своей направленной скорости. Это приводит к тому, что электрон медленно движется в направлении действующей силы с некоторой средней скоростью дрейфа .

Примечание. Для упрощения рассуждений будем считать, что электрон обладает положительным зарядом.

1. Пусть внутри проводника создано постоянное электрическое поле . Определите среднюю скорость дрейфа электронов .

При рассмотрении электрических токов в проводниках удобно пользоваться понятием подвижности. Под действием силы электрон начинает двигаться со скоростью . Коэффициент называется подвижностью.

1. Выразите через заряд, массу электрона ( и ) и время свободного пробега .

2. Считая, что концентрация электронов в металле равна , определите связь между удельной проводимостью и подвижностью электронов .

Перейдём к непосредственному изучению гальваномагнитных явлений. Пусть в проводнике создано поле . При помещении его в магнитное поле электроны уже не будут двигаться строго в направлении оси OX. Мы рассмотрим лишь случай слабого поля, когда это отклонение невелико. Движение зарядов в направлении оси OY приведёт к тому, что на границе проводника будут собираться электроны, что в свою очередь вызовет появление поля (эффект Холла) (см. рис. 1. Электроны считаются положительными). Т.к. магнитное поле слабое, то и напряжённость поля также будет небольшой по сравнению с полем .

1. Пусть и - проекции дрейфовой скорости электрона на оси OX и OY. Выразите эти проекции через подвижность и составляющие полей , и .

Предположим, что каким-либо образом удаётся избежать накопления зарядов на границах образца (например, образец бесконечен вдоль оси OY, либо вдоль этой оси

приложено внешнее поле, полностью компенсирующее поле ). В этом случае удельная проводимость образца уменьшится. Это и есть магнетосопротивление, которое принято характеризовать относительным изменением удельной проводимости .

1. В нашей модели проводника магнетосопротивление приводит к относительному уменьшению удельной проводимости . Определите .

Примечание. В дальнейшем следует пренебрегать величиной в степени большей чем .*

1. Под каким углом к оси OX будет направлена дрейфовая скорость электронов? Если позволить зарядам накапливаться на границах образца, то очень быстро установится равновесное значение поля , при котором прекратится ток вдоль оси OY. Будем, для простоты, характеризовать эффект Холла безразмерной постоянной , которая определяется из соотношения:
   

2. Определите постоянную в данной модели проводника.

3. Покажите, что возникающее в результате эффекта Холла поле полностью «уничтожает» магнетосопротивление.

Таким образом, при анализе простейшей модели проводника магнетосопротивление наблюдается только при определённых (искусственных) условиях. Если не компенсировать поле , то эффект Холла приводит к исчезновению магнетосопротивления.

Однако в реальных проводниках, помещённых в магнитное поле, эти два эффекта существуют одновременно. Для более точного расчета необходимо учитывать распределение электронов по скоростям. Скорость беспорядочного движения не одинакова у всех электронов, т.е. не одинаково время свободного пробега, а значит и различна подвижность.

Подробное описание этих явлений крайне проблематично осуществить ученику 11 класса. Однако в самом простейшем случае различие в подвижностях можно учесть следующим образом. Пусть в проводнике существует два типа электронов. Их концентрация одинакова (), а подвижность одних в два раза больше подвижности других (, ).

1. Определите удельную проводимость в такой модели в отсутствие магнитного поля.

В проводнике создается поле . Проводник помещается в магнитное поле .

1. Определите возникающую в результате эффекта Холла напряженность . Определите также постоянную .

2. Покажите, что в такой модели магнетосопротивление присутствует и , где имеет значение, уже полученное вами в пункте 5. Определите значение постоянной .

3. Качественно опишите, как будут двигаться электроны каждого сорта в проводнике. Под какими углами и к оси OX будут направлены их дрейфовые скорости?