Лобовое сопротивление — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2009 11 класс № Э1

1.1

1.1 На основании второго закона Ньютона и с учетом малости угла отклонения запишем уравнение:

Так как ускорение и скорость движения очень малы, то в этом уравнении можно пренебречь слагаемым , тогда уравнение движения приобретает вид

или

где

2.1

2.1 Результаты измерений напряжений на графитовом стержне $С$ и резисторе , а также расчетов силы тока , мощности, выделяющейся на стержне , и сопротивления стержня представлены в таблице 1.

Расчетные формулы хорошо известны:

сила тока: , использован резистор с сопротивлением Ом;
мощность: ;
сопротивление: .

Таблица 1. Стационарный режим. Результаты измерений и расчетов.

Нагрев					Остывание
, мВ	$С$ , мВ	, мА	, мВт	, Ом	, мВ	$С$ , мВ	, мА	, мВт	, Ом
13	27	25,5	0,69	1,059	680	1260	1333,3	1680,0	0,945
39	82	76,5	6,27	1,072	617	1150	1209,8	1391,3	0,951
61	128	119,6	15,3	1,070	590	1105	1156,9	1278,3	0,955
86	181	168,6	30,5	1,073	563	1062	1103,9	1172,4	0,962
112	234	219,6	51,4	1,066	531	1002	1041,2	1043,3	0,962
146	306	286,3	87,6	1,069	512	972	1003,9	975,8	0,968
164	344	321,6	110,6	1,070	490	935	960,8	898,3	0,973
191	398	374,5	149,1	1,063	453	872	888,2	774,5	0,982
224	463	439,2	203,4	1,054	413	803	809,8	650,3	0,992
244	502	478,4	240,2	1,049	388	756	760,8	575,2	0,994
267	550	523,5	287,9	1,051	349	686	684,3	469,4	1,002
293	594	574,5	341,3	1,034	324	639	635,3	406,0	1,006
314	633	615,7	389,7	1,028	279	556	547,1	304,2	1,016
339	683	664,7	454,0	1,028	237	476	464,7	221,2	1,024
366	731	717,6	524,6	1,019	210	424	411,8	174,6	1,030
389	773	762,7	589,6	1,013	186	378	364,7	137,9	1,036
421	833	825,5	687,6	1,009	157	320	307,8	98,51	1,039
443	872	868,6	757,4	1,004	129	263	252,9	66,52	1,040
470	917	921,6	845,1	0,995	107	220	209,8	46,16	1,049
497	963	974,5	938,5	0,988	79	163	154,9	25,25	1,052
522	1005	1023,5	1028,6	0,982	56	117	109,8	12,85	1,066
538	1041	1054,9	1098,2	0,987	33	69	64,71	4,46	1,066
567	1084	1111,8	1205,2	0,975	13	27	25,49	0,69	1,059
584	1108	1145,1	1268,8	0,968
622	1168	1219,6	1424,5	0,958
660	1221	1294,1	1580,1	0,944
703	1284	1378,4	1769,9	0,931

2.2

2.2 Период колебаний маятника
$с$
Используя формулу для периода колебаний математического маятника

рассчитаем длину нити
$м м$
Окончательно получаем
$м$

3.1

3.1 Результаты измерений зависимости напряжения от времени по предложенной схеме и последующих расчетов (см. ниже) приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Результаты измерений зависимости напряжение от времени и расчеты параметров.

, с	, мВ	$с р$ , мВ	, $мВ с$
0	12,0			2,067
10	11,0	11,5	0,1000	1,932
20	10,0	10,5	0,1000	1,775
26	9,5	9,75	0,0833	1,686
31	9,0	9,25	0,1000	1,589
40	8,5	8,75	0,0556	1,482
47	8,0	8,25	0,0714	1,361
57	7,5	7,75	0,0500	1,224
67	7,0	7,25	0,0500	1,065
80	6,5	6,75	0,0385	0,875
96	6,0	6,25	0,0313	0,642
115	5,5	5,75	0,0263	0,336
155	5,0	5,25	0,0125	-0,105
207	4,5	4,75	0,0096	-0,916

График полученной зависимости показан на рис. 4. Отметим, что фактически данный график представляет также зависимость температуры (в относительных единицах) от времени. Поэтому теоретические зависимости для напряжения можно переписать из условия, заменив температуру измеренным напряжением:

Полученная кривая похожа на экспоненту, что качественно подтверждает предложенную модель теплоотдачи. Как видно из графика, напряжение не стремится к нулевому значению.

Можно, конечно, по графику приближенно оценить стационарное значение этого напряжения В, необходимое для дальнейшего для дальнейшей проверки записанных законов и определения их параметров. Однако предпочтительнее непосредственно проверить справедливость уравнения (4)! Для двух соседних точек следует рассчитать значения скорости изменения напряжения («для красоты», взятую с обратным знаком)

среднего напряжения на данном участке
$с р$

и построить график их зависимости.

Результаты расчетов этих величин приведены в таблице 2, а график показан на рис. 5.

Как видно из графика уравнение (4) выполняется (если отбросить начальные точки, где скорость изменения велика, промежутки времени малы, поэтому и погрешность высока). Обработка линейной зависимости
$с р$
по МНК² приводит к следующим значениям параметров
$с В$
Сравнивая теоретическую зависимость (4) с линейной функцией, позволяет определить параметры уравнения (4)

² Понятно, что точность процедуры численного вычисления производной низка, поэтому не следует проводить расчет погрешностей параметров этой зависимости, самое важное в этом графике – возможность определить стационарное значение напряжения.

Найденное значение предельного напряжения позволяет теперь проанализировать «интегральную» зависимость (5). Для этого построим график зависимости от времени (рис. 6)

Рис. 6 Зависимость напряжения от времени

(полулогарифмический масштаб)

Как видно, точки прекрасно легли на прямую (за исключением двух последних – где напряжение близко к предельному, поэтому точность измерений мала). Коэффициент наклона данной прямой, рассчитанный по МНК, равен

Что дает значение времени установления теплового равновесия

с погрешностью порядка .

4.1

4.1 По формуле (8) рассчитываем температурный коэффициент сопротивления графита

$Дж кг кг$

Примечания

1. . ВэтомслучаеприменениеметоданаименьшихквадратовобосновываетсяболеестрогоНебудетбольшой ошибкой и традиционное построение зависимости логарифма координаты от времени. ↩
2. , , Понятночтоточностьпроцедурычисленноговычисленияпроизводнойнизкапоэтомунеследует проводить расчет погрешностей параметров этой зависимости, самое важное в этом графике – возможность определить стационарное значение напряжения. ↩

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи