1.1 . Найдем связь между координатами точки предмета и ее изображения .

Из треугольника следует

Далее рассматривая треугольники и , находим

1.2 Фотография сделана так, что солнце находится непосредственно перед фотоаппаратом, поэтому можно считать, что тени деревьев являются прямыми линиями, параллельными оси . Поэтому найдем уравнение изображения прямой, параллельной оси и пересекающей ось в точке с координатой . Выразим из (1) координату , получим

и подставим теперь полученное выражение в (2), в результате получим уравнения изображения этой прямой в плоскости изображений

Полученной выражение является уравнением прямой. Следовательно, горизонтальные тени изображаются в виде прямых линий.

1.3 Из полученного уравнения прямой (4) следует, что ее коэффициент наклона зависит от координаты . Т.е. прямые параллельные тени изображаются в виде не параллельных прямых на фотографии. В этом и состоит эффект «перспективы».

1.4 Теперь можно внимательно рассматривать фотографию. Из уравнения прямой (4) следует, что при . Поэтому координаты указанных деревьев можно найти как координаты точек пересечения теней этих деревьев с нижним срезом фотографии , которая совпадает с осями и . Из рисунка находим, что расстояние между ними примерно равно м. Впрочем, этот вывод можно сделать и не получая уравнение изображений теней: сами тени параллельны, поэтому расстояние между ними неизменно!

1.5 Из уравнения прямых (4) следует, что все они пресекаются в одной точке с координатами , (так называемой точке схода). Поэтому продолжим тени от рассматриваемых деревьев и по координатной сетке найдем вертикальную координату точки их пересечения, которая равна высоте точке съемки м.
Можно воспользоваться и другим более длинным путем: по рисунки найти коэффициенты уравнения прямой одной из теней и уже по ним определить искомую высоту точки съемки.

1.6 Расстояние до деревьев есть их координата в горизонтальной плоскости предметов. Эту координату легко вычислить из формулы (3). Так для второго дерева по рисунку находим м, м, следовательно

1.7 Вопрос для наблюдательных и сообразительных учеников. Тени некоторых деревьев (в правой части снимка) изогнуты, поскольку там находится ... небольшой сугроб! Это обстоятельство и приводит к наблюдаемым искажениям.

Что такое изображение в плоском зеркале?

Построить изображение точечного источника в плоском зеркале может каждый ученик! Достаточно отобразить его зеркально и получить изображение . Но какой смысл имеет построенное изображение? Ведь за зеркалом света нет!

Ситуация несколько осложняется, если зеркало имеет конечные размеры.

Теперь можно привести решение второй части задачи.

2.1 «Восход без солнца...» Хитрый «секрет» этой фотографии заключается в том, что фотограф в лодке имеет ... некоторый рост. Это обстоятельство приводит к тому, что точка съёмки не находится на поверхности воды (плоскости отражения света). Следовательно, строго говоря, прямой вид восхода солнца и его отражение в озере не являются симметричными, т.е. имеют определенные различия. Удача фотокадра (возможно и «случайная»!) заключается в том, что в эти различия в данном случае попало и отражение в воде восходящего солнца.
Изобразим схематически фотографа высотой и дерево высотой в виде простейшей оптической схемы, изображенной на рисунке. Как видно из схемы, если угловая высота Солнца над горизонтом больше угла , то Солнце взойдет над деревьями при прямом наблюдении. Однако для наблюдения его отражения в воде требуется больший угол , который при восходе светила достигается несколько позже во времени. Соответственно, в течение некоторого промежутка времени будет наблюдаться интересный эффект, попавший в удачный кадр: в воде будет отсутствовать отражение солнца ...

2.2 Из построенных треугольников, получим количественное условие для данного эффекта. Пусть угловая высота солнца над горизонтом . Тогда из чертежа можем записать условия видимости светила над деревьями

Соответственно, для появления отражения солнца в воде, необходимо выполнение дополнительного условия

Учитывая малость углов при восходе солнца можно тангенсы углов заменить самими углами. Тогда условие наблюдения эффекта запишется в виде

Теперь понятно, почему нельзя наблюдать отражение Солнца в воде – отражения верхушек деревьев, кустов в воде заслоняют его от наблюдателя. Следовательно, «секрет» исчезновения

Солнца в воде прост – уровень съёмки находится выше уровня воды (на величину роста фотографа). Это и приводит к различиям видимых картинок – картинка в воде не совпадает с картинкой прямого наблюдения, как это было бы, если бы съёмка производилась строго с поверхности воды.
Приведем также еще один рисунок, на котором показаны лучи, идущие непосредственно от Солнца (заметьте, параллельные) и отраженные от поверхности воды. Заливкой выделена область, в которой должен находиться фотоаппарат, чтобы зафиксировать приведенный эффект.

4. Всегда ли существует видимое изображение?

Заголовок третьей части задачи явно подсказывает, что в основе данного эффекта лежит преломление света на стенке аквариума.
Поэтому рассмотрим традиционную задачу о построении изображения источника, лежащего на дне бассейна некоторой глубины . Для дальнейшей формализации введем систему координат, начало отсчета которой совместим с источником. Изобразим ход произвольного луча, выходящего из источника под некоторым углом (не обязательно малым!). После преломления в точке от «прижмется» к поверхности воды, т.е поедет под большим углом к нормали.

² [^2]

Разрешение данного парадокса заключается в том,
что размеры зрачка глаза и объектива фотоаппарата
малы. Следовательно, изображение формируется
узким пучком лучей, попадающих в глаз
наблюдателя. Поэтому для построения изображения
необходимо рассматривать только узкий пучок
лучей (рис. ), продолжения которых пересекаются
и тем самым формируют четкое изображение.
Подчеркнем – изображение формируется теми
лучами, которые попадают в глаз или объектив
фотоаппарата. Тем самым мы приходим к
неожиданному выводу: положение изображения
зависит от точки наблюдения!

5. Необходимое, но не обязательное дополнение.

Проведенные рассуждения и качественные построения дают ответы на поставленные в
условии задачи вопросы. Но, настало время «проверить алгеброй... геометрию». Иными словами,
показать, как можно формализовать и перевести на язык строгих алгебраических формул
приближенные геометрические построения.

Итак, основная идея определения положения изображения – поиск точки пересечения
близких лучей. Каждый луч, попадающий в глаз (или объектив) является отрезком прямой,
поэтому может быть описан в декартовой системе координат общим уравнением

При рассмотрении семейства лучей (например, выходящих из одной точки) коэффициенты
уравнения луча (1) являются функцией некоторого параметра . Для вычисления координат
точки пересечения двух бесконечно близких лучей одного семейства следует решить
систему уравнений, описывающих эти лучи:

Вычтем из второго уравнения первое, разделим получившееся уравнение на и
перейдем к пределу , в результате получим уравнение

Из которого находится одна из координат точки пересечения

Здесь - производные от коэффициентов линейной зависимости (9) по параметру . Применим описанную общую схему к задаче определения координат изображений точки при преломлении на плоской поверхности (см. рис. ).

В качестве переменного параметра , определяющего семейство преломленных лучей можно использовать любой из углов, показанных на рисунке, любую тригонометрическую функцию от этих углов, координату точки преломления и т.д. Выбор дело вкуса, или опыта решения подобных задач. Мы в качестве такого параметра выберем тангенс угла наклона преломленного угла к преломляющей плоской поверхности

Отметим, что этот угол определяет направление на точку наблюдения. Теперь нам необходимо записать уравнение преломленного луча, выразив коэффициенты этого уравнения через введенный параметр. Для этого запишем закон преломления

Далее найдем координаты точки преломления выбранного луча

Для вычисления тангенса угла наклона луча можно провести следующие преобразования

После чего находим

Таким образом, уравнение семейство преломленных лучей описывается уравнением

Далее, в соответствии с общей методикой определения координат точки пересечения близких лучей, найдем ее горизонтальную координату

Подставляя полученное значение в уравнение луча (18), получим вторую координату точки пересечения

Отметим, что при взгляде «сверху» (этому соответствует предел ) координаты точки-изображения стремятся к следующим значениям

Что соответствует известному результату: кажущаяся глубина водоема в раз меньше истинной глубины.

Вот такая «красивая» алгебра обосновывает проведенные ранее геометрические построения. Признаемся, приведенные в последней части рисунки построены в соответствии с полученными алгебраическими результатами.