1.1 Докажите, что при справедлива приближенная формула

Небольшую дугу окружности можно приближенно заменить участком параболы. Пусть центр окружности радиуса лежит на оси и окружность касается оси . Тогда, уравнение соприкасающейся с окружностью в начале координат параболы имеет вид

На рисунке показана окружность единичного радиуса и соприкасающаяся с ней парабола.

1.2 Докажите формулу (2) для уравнения соприкасающейся параболы.

Даже если Вы не смогли доказать эти формулы, Вы имеете право использовать их в дальнейшем.

2.1 Используя принцип таутохронизма, докажите, что все лучи , параллельные главной оптической оси после отражения от зеркала пересекутся в одной точке , которая называется фокусом. Найдите фокусное расстояние зеркала .

Задача 2.2 На рисунке показана плосковыпуклая линза. Радиус сферической поверхности линзы равен , показатель преломления материала линзы равен . - центр кривизны выпуклой поверхности; - оптический центр линзы, - главная оптическая ось линзы.

2.2 Используя принцип таутохронизма, докажите, что все лучи , параллельные главной оптической оси после преломления в линзе от пересекутся в одной точке , которая называется фокусом. Найдите фокусное расстояние линзы .

Задача 2.3 На главной оптической оси вогнутого сферического зеркала радиуса находится точечный источник света на расстоянии от оптического центра зеркала. Изображение этого источника находится в точке на расстоянии от оптического центра.

2.3.1 Используя принцип таутохронизма, докажите, что зеркало формирует действительное изображение точечного источника.

2.3.2 Получите «формулу вогнутого зеркала», связывающую расстояния и и фокусное расстояние зеркала .

Задача 2.4 Как известно, изображения могут быть мнимыми.

2.4.1 Модернизируйте принцип таутохронизма так, чтобы с его помощью можно было рассчитывать положения мнимых изображений. (Приведите свою формулировку, доказательство не требуется).

2.4.2 Покажите, «формула выпуклого зеркала», связывающая расстояние от точечного источника до оптического центра зеркала , расстояние от оптического центра до изображения этого источника и фокусное расстояние зеркала, можно записать в том же виде, что и «формулу вогнутого зеркала», полученную в п. 2.3.2, если переопределить величины, входящие в эту формулу (укажите, эти величины).

2.4.3 Несмотря на то, что уважаемая «Википедия» называет рассматриваемые принцип Ферма постулатом (утверждением, не требующим доказательства), дайте словесное обоснование (не более 50 слов) принципа таутохронизма.

3.1 Используя принцип Ферма получите формулу для закона преломления света.

Задача 3.2 Рассмотрим отражение света от внутренней зеркальной поверхности цилиндрической трубки радиуса в плоскости, перпендикулярной оси трубки (см. рис). Рассмотрим все возможные траектории светового луча . Точки находятся на внутренней поверхности цилиндра. Центр сечения – точка . Положение точки задается углом . Угол - прямой.

3.2.1 Найдите зависимость длины траектории от угла - . Постройте схематический график этой зависимости для всех возможных значений .

3.2.2 Укажите, каким значениям угла соответствуют истинные траектории луча. Укажите эти значения на построенном графике .

Задача 3.3 Выводы из проделанной работы.

3.3.1 Уточните формулировку принципа Ферма, так, чтобы она описывала все рассмотренные в данном задании случаи движения луча света.

3.3.2 Дайте словесное обоснование принципа Ферма в общем случае (не более 50 слов).