1.1.1 По закону Ома для полной цепи сила тока в этой цепи равна

Следовательно, искомая разность потенциалов равна

1.1.2 Полученное выражение можно преобразовать к виду

Впрочем, это соотношение можно записать сразу, сославшись на

1.2.1 Используя соотношение (2) и закон Ома для участка цепи, запишем систему уравнений для сил токов в различных ветвях рассматриваемой цепи

Решение этой системы дает искомый результат

1.2.2 Последнее соотношение можно переписать в виде

который совпадает с законом Ома для полной цепи . Следовательно, во-первых, два параллельно соединенных источника можно заменить одним, во-вторых, характеристики этого источника описываются не очевидными формулами:

1.3 При подключении вольтметра к нулевой и - точкой эквивалентная схема выглядит, как показано на рисунке. Здесь учтено, что при последовательном соединении источников их ЭДС и внутренние сопротивления складываются.

Для расчета напряжения можно воспользоваться полученной формулой (6), в которой следует положить , , , . Подстановка этих значений приводит к результату – сила тока через вольтметр, а следовательно и напряжение на нем равно нулю!

Этот же результат следует и из закона (3), так сила тока в цепи равна , поэтому при любом подключении .

Задача 2. Шайба

Изменение скорости шайбы обусловлено силой трения о борт. При движении вдоль прямолинейных бортов отсутствует сила, прижимающая шайбу к борту, поэтому в этом случае трение отсутствует, и скорость шайбы остается постоянной. При движении вдоль закругления появляется сила реакции, действующая на шайбу и сообщающая ей центростремительное ускорение. Изменение модуля скорости шайбы описывается уравнением 2 закона Ньютона в проекции на направление скорости шайбы

Наконец, сила реакции может быть выражена через центростремительное ускорение

Здесь - радиус закругления.

Таким образом, изменение модуля скорости описывается уравнением

Так как нас не интересует зависимость скорости от времени, перейдем в этом уравнении к зависимости изменения скорости от угла поворота. Пусть за малый промежуток времени

шайба прошла путь и при этом повернула на малый угол . Эти величины связаны геометрическим соотношением

С учетом этого выражение, уравнение (4) принимает вид

Из этого уравнения следует, что относительное изменение скорости шайбы пропорционально углу поворота

Следовательно, при повороте на некоторый угол модуль скорости уменьшается в одно и тоже число раз. Так как прохождение каждого закругления соответствует повороту на один и тот же угол , то и уменьшение скорости на каждом закруглении также будет в одно и то же число раз, то есть

Из этого выражение определяем искомую конечную скорость

Дополнение.

1. Проведенные рассуждения можно проиллюстрировать и математическими выкладками. Разобьем угол поворота на малые интервалы . Тогда из уравнения (7) следует, что скорости после прохождения и интервалов связаны соотношением

То есть последовательность является геометрической прогрессией, поэтому каждый член этой последовательности выражается в явном виде следующим образом

Если выразить число шагов, как , то выражение (11) можно переписать в виде

Здесь на последнем шаге использован замечательный предел. Его можно «доказать» следующим образом. Если при малых справедливо выражение , то справедливо и обратное . Поэтому , откуда и следует формула (12).

Наконец, можно просто проинтегрировать уравнение (7):

Обратим внимание, что данная формула совпадает с формулой Эйлера, описывающей изменение силы натяжения нити переброшенной через цилиндр.

Задача 3. Шарики в трубе

Силы взаимодействия между шариками (как электростатические, так и упругие в момент столкновения) являются внутренними для системы двух шариков, поэтому они влияют на движение центра масс шариков. Следовательно, центр масс шариков движется вниз с ускорением свободного падения, независимо от того, до столкновения, после столкновения...
Так как массы шариков одинаковы, то центр масс находится на середине отрезка их соединяющего.
За время центр масс двух шариков опустится на расстояние и окажется на высоте

Здесь - высота центра масс в начальный момент времени (в момент отпускания).
Так как нижний шарик в это момент оказался на дне сосуда, то второй шарик окажется на высоте в 2 раза большей высоты центра масс, т.е.

Примечание. Исходные данные позволяют заключить, что в рассматриваемый момент времени второй шарик будет находиться выше.