Обозначим скорость шарика номер сразу после его столкновения - . Из закона сохранения импульса

Следует, что она равна

Поэтому время движения «слипшихся» шайб до очередного столкновения равно

Последняя шайба сдвинется через время , которой равно сумме времен

Используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, получаем нужный результат

Задача 1.2

Движение шарика в данной задаче удобно рассматривать в системе координат, связанной с наклонной плоскостью. Направим ось вдоль наклонной плоскости, а ось перпендикулярно к ней. Начало отсчета совместим с точкой первого удара. В этой системе проекции ускорения на оси координат равны

А проекции начальной скорости после первого удара (с учетом абсолютной упругости) описываются формулами

где

модуль скорости шарика после первого удара.
Так как в моменты ударов силы направлены перпендикулярно плоскости, то проекция скорости на ось изменяться во время ударов изменяться не будет. Следовательно, движение в проекции на ось будет равноускоренным:

Запишем закон движения шарика вдоль оси после первого столкновения:

Из этого выражения следует, что второй удар произойдет через время , равное

Проекция скорости в этот момент времени будет равна

Таким образом, после второго отскока проекция скорости останется такой же, как и после первого отскока, следовательно, после каждого столкновения эта проекция остается неизменной. Отсюда следует важный вывод – время между последовательными ударами постоянно и определяется формулой (5)!
Поэтому проще сначала найти ответ на второй вопрос задачи, а затем на первый.

1.2.2 Время пролетов равно

Координата (равная искомой величине ) задается законом движения (4):

С учетом формулы для начальной скорости (3), получаем