Столкновение ядер — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2025 10 класс № 2

1.1

Основная проблема рассмотренного типа ускорения заключается в том, что ядро-мишень также приходит в движение. Поэтому не все кинетическая энергия движущегося ядра переходит в энергию их взаимодействия. При сближении положительно заряженных ядер возрастает энергия их кулоновского взаимодействия, которое препятствует их столкновению. Не сложно понять, что при минимальном сближении ядер их скорости становятся равными. Запишем закон сохранения энергии для рассматриваемых ядер Здесь: - скорость ускоренного ядра; скорости ядер в момент максимального сближения; - потенциальная энергия кулоновского взаимодействия в этот же момент времени.

Так как ядра должны сблизиться на расстояние , потенциальная энергия взаимодействия должна достичь величины где - электрические заряды ядер. Скорость ядер в момент максимального сближения можно выразить их закона сохранения импульса Подставим в уравнение (1) и преобразуем его: Кинетическую энергию налетающего ядра выразим через ускоряющую разность потенциалов : Эти уравнения позволяют записать выражение Из которого находим Наконец выразим характеристики ядер через их массовые и зарядовые числа Подставляя численные значения всех величин, получим $В$

1.2

Для вычисления скорости налетающего ядра воспользуемся формулами (5) и (8):

Численное значение этой величины равно

$м с$

1.3

Если ядра пометь местами, то это приведет к изменению индексов в конечных формулах. Тогда ускоряющая разность потенциалов для атома свинца оказывается равной

$В$

Формула для скорости симметрична по индексам, поэтому скорость ядра свинца должна остаться прежней

$м с$

2.1

Для расчета энергии, которую получает ядро при пролете через ускоряющую ячейку, необходимо рассмотреть электрическое поле между пластинами. Для расчета поля используем принцип суперпозиции и достаточно традиционную идею: вместо отверстия будем рассматривать сплошную пластину с поверхностной плотностью заряда , на которую наложен диск, радиус которого равен радиусу отверстия, с противоположной плотностью заряда . Аналогично будем рассматривать и вторую пластину с отверстием. При таком подходе напряженность электрического поля на оси отверстий можно представить в виде следующей суммы полей (в проекции на направление движения частиц):

поле положительно заряженной пластины ;
«поле отверстия» в этой пластине ;
поле отрицательно заряженной пластины ;
«поле отверстия» во второй пластине .

Сумма этих полей оказывается равной

Таким образом, в рамках приближенной модели поля диска, поле на оси отверстий оказывается однородным. Следовательно, разность потенциалов между центрами отверстий равна

При прохождении этой разности потенциалов энергия ядра увеличится на величину

На большом удалении от отверстий поле между пластинами однородное, его напряженность равна . Следовательно, разность потенциалов (или напряжение) между пластинами равна

Наконец, из последних формул следует, что при пролете через ускоряющую систему ядро приобретет энергию равную

2.2

2.2 Формула для емкости плоского конденсатора

И определение емкости

(здесь - напряженность поля, создаваемого одной пластиной) позволяют выразить напряженность поля одной пластины через поверхностную плотность заряда на ней

3.1

Чтобы разгон ядра проходил в каждой ускоряющей ячейке, необходимо, чтобы ядро подлетало к очередной ячейке в момент включения поля. То есть времена пролета между ячейками должны быть одинаковыми. Так как в каждой ячейке кинетическая энергия увеличивается на одну и ту же величину , то после пролета ячеек энергия и скорость ядра будут равны