а) Минимальной расстояние между кораблями есть расстояние от точки до прямой , которое равно

б) Очевидно, что шлюпка, спущенная с корабля , достигнет корабля за минимальное время, если скорость их сближения максимальна, а начальное расстояние между ними минимально. Эти условия будут выполнены, если шлюпку сразу спустить на воду и направить ее навстречу кораблю . Тогда время, за которое шлюпка достигнет корабля вычисляется по формуле

в) Пусть капитан корабля отправляет шлюпку через время (нам необходимо найти его максимально возможное значение) в точке , а затем через время шлюпка встречается с кораблем в точке (см. рис. ). За это время корабль пройдет путь . Как следует из рис. , чтобы шлюпка и корабль встретились должно выполняться условие (которое следует из теоремы косинусов для треугольника )

Для того, чтобы найти максимальное значение времени необходимо рассмотреть выражение (4) как уравнение относительно величины и определить условия (значения ), при которых оно имеет неотрицательное решение. В принципе этот путь решения задачи приведет к успеху, правда путем долгих и громоздких алгебраических преобразований.

Кстати, это же уравнение (при ) можно использовать для алгебраического обоснования результата, полученного в п. б). Решив это уравнение относительно , можно получить зависимость времени движения от времени , а затем найти минимум этой функции. Этот способ приводит к уже полученному результату: функция монотонно возрастает с ростом , следовательно ее минимум достигается при .

Вернемся к решению пункта в).

Опять рассмотрим движение кораблей в системе отсчета, связанной с кораблем . В этой системе диаграмма перемещений кораблей и шлюпки имеет вид, показанный на рис. , здесь обозначено , - скорость шлюпки, относительно корабля . На рисунке видно, что время (или что то же самое перемещение ) будет максимально при максимальном угле , между направлением относительной скорости и отрезком . Максимальное значение этого угла

можно найти, построив диаграмму скоростей (рис. ).

Вектор скорости шлюпки может быть направлен под произвольным углом, иными словами его конец может располагаться в любой точке нарисованной окружности. Как следует из рисунка угол будет максимален, если вектор будет касательным к этой окружности. Таким образом, .

Запишем теорему синусов для треугольника

где - угол . Из выражения (5) находим

Отметим, что при

1. , т.е. шлюпку надо сразу спускать на воду и ждать пока к ней подплывет второй корабль;

2. при , капитан может подождать в течении времени ;

3. при шлюпка может догнать корабль после любого времени ожидания .

г) Скорость снаряда будет минимальна, если он пролетит минимальное расстояние, будучи выпущен под углом к горизонту. Следовательно эту скорость можно найти из уравнения