Задача 3. «Диэлектрик или проводник?»

Рассмотрим физическую картину происходящих явлений. Сразу после замыкания цепи на пластинке возникают поляризационные заряды (пластинка на малых временах ведет себя как диэлектрик), затем в пластике в результате протекания тока происходит перераспределение заряда, пока поле внутри пластинки не исчезнет (пластинка становится проводником).

Обозначим поверхностную плотность заряда на обкладках конденсатора , а на поверхности пластинки (знаки зарядов указаны на рисунке). Так как напряжение между обкладками поддерживается постоянным, то выполняется соотношение

где , напряженности электрических полей между обкладками и пластинкой и внутри пластинки, соответственно. Напряженности полей связаны с поверхностными плотностями зарядов соотношениями

После замыкания цепи практически мгновенно на пластинке возникнут поляризационные заряды, такие, что напряженность поля внутри пластики будет в раз меньше напряженности поля вне ее , поэтому из соотношения (1) получим

Это поле создается зарядами на обкладках

Под действием поля внутри пластинки начнет течь электрический ток, который будет изменять заряды, как на поверхности пластинки, так и на обкладках конденсатора. Ток прекратится, когда напряженность поля внутри пластинки станет равной нулю. После завершения этого процесса перераспределения напряженности полей станут равными

а заряд на обкладках

Таким образом, заряд конденсатора будет изменяться от до .

Для описания динамики изменения этого заряда из соотношение (1)–(2) выразим

где — заряд на поверхности пластинки. Изменение этого заряда обусловлено электрическим током внутри пластинки, сила которого определяется законом Ома

Избавляясь в этом уравнении от с помощью соотношений (6) получим уравнение, описывающее изменение заряда конденсатора

Из этого уравнения следует, что характерное время изменения заряда (следовательно, и существования тока) равно

Начальное значение силы тока , который затем убывает до нуля.

Для определения количества теплоты, выделившейся в пластинке, можно воспользоваться энергетическим соотношением:

• после замыкания цепи конденсатор обладал энергией , где
  - начальная емкость конденсатора;
• за время протекания тока источник совершил работу ;
• после перераспределения конденсатор обладает энергией , где
  - емкость конденсатора, после прекращения тока.
  Таким образом, энергетический баланс представляется уравнением
  
  здесь - количество выделившейся теплоты. Из этого уравнения находим