Что равно количеству растворённого вещества в сосуде, если известна концентрация и объём раствора?

Запиши определение концентрации: масса растворённого вещества связана с концентрацией и объёмом раствора.

1. Запиши массу растворённого вещества в сосуде A как произведение соответствующей концентрации и объёма.
2. Аналогично запиши массу в сосуде B.
3. Вырази массы через , и .

Как меняется количество растворённого вещества при переливании малого объёма: что переходит из одного сосуда в другой?

Используй сохранение массы растворённого вещества при каждом переливании и тот факт, что после хорошего перемешивания концентрация в сосуде равна отношению массы вещества к объёму.

1. Обозначь массы вещества в сосудах перед первым переливанием (они из пункта 1.1).
2. Запиши массу вещества, перенесённую из A в B при первом переливании: это концентрация в A до переливания умноженная на ; вычти это из массы A и прибавь к массе B.
3. После перемешивания сосуда B найди его новую концентрацию как массу вещества в B делённую на объём , затем запиши массу, возвращаемую из B в A при обратном переливании (концентрация B после смешивания умноженная на ).
4. Составь выражения для масс в A и B после цикла и поделив их на получи и — вырази их через .

Что даёт разность концентраций сразу после первого переливания: чем отличается концентрация B после первого переливания от исходной концентрации A?

Вычисли разность, используя выражения для концентраций после переливаний; пользуйся линейностью операций с массой и объёмом.

1. Запиши из предыдущего пункта и выпиши для сравнения.
2. Вычти из и упрость, сгруппировав члены по и .
3. Вырази через .

Какой знак и порядок величины имеет разность после второго переливания: что произошло после возвращения части раствора в A?

Аналогично предыдущему пункту, воспользуйся выражениями для и и линейностью; используй сохранение массы при каждом шаге.

1. Запиши и из пункта 1.2.
2. Вычисли разность , приведя подобные члены.
3. Вырази через .

Какие массы получаются в сосудах после одного полного цикла, если учитывать все переливания, а не только концентрации?

Используй сохранение массы вещества при каждом переливании и записи переносимых масс как концентрация до переливания умноженная на .

1. Начни с начальных масс из пункта 1.1 и пропиши, сколько массы уходит из A при первом переливании и сколько приходит в A при обратном переливании.
2. Сложи исходную массу A с приходящей и вычти ушедшую, аналогично для B.
3. Запиши итоговые массы в A и B после цикла через .

Как меняются массы и концентрации при повторении циклов: существует ли простая рекуррентная связь между состояниями после последовательных циклов?

Введи рекуррентные соотношения для масс (или концентраций) в сосудах после каждого цикла, опираясь на линейность переноса массы и на предыдущие результаты; реши линейную разностную систему методом итераций/диагонализации.

1. Запиши вектор состояний после циклов, например или , и выпиши линейное преобразование, переводящее состояние после в состояние после (используя коэффициенты и ).
2. Найди собственные значения и собственные векторы матрицы перехода либо итерационно вырази состояние через начальное, возводя матрицу в степень .
3. Разложи начальное состояние по найденным собственным векторам и применив возведение в степень получи явное выражение для .
4. Выразите и из полученной системы через .