Простая задача про простые механизмы — режим тренировки

Режим тренировки Edu

Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.

Когда великий Архимед открыл правило рычага, он воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!».
И не случайно – еще в античные времена это правило трансформировалось в «золотое правило механики»: «ни один механизм не дает выигрыша в работе, во сколько раз выигрываешь в силе, во столько раз проигрываешь в работе!». А через 2 тысячи лет из этого правила вырос закон сохранения энергии, основа современной физики.
Вам предстоит доказать, что Вы тоже понимаете «золотое правило механики» и его применение к различным механизмам. В каждой части не только приведите ответ, но и обоснуйте его. Во всех устройствах трением пренебрегайте.

Решено

1.1 Ворот.

Подъемное устройство (ворот) состоит из двух соединенных толстых дисков, насаженных на одну горизонтальную ось. Радиусы дисков равны , .
На боковые поверхности дисков намотаны крепкие веревки. Одну из них тянут горизонтально с постоянной силой .
Определите массу груза , который можно поднять с помощью этого устройства.

Решено

1.2 Полиспаст.

На рисунке показано еще одно подъемное устройство – полиспаст. Определите массу груза , который может поднять человек массы с помощью этого устройства. Масса всех одинаковых блоков полиспаста равна , массой остальных его частей можно пренебречь.

Решено

1.3 Лебедка.

На рисунке показана схема еще одного подъемного устройства – лебедки. Сдвоенные шестерни 1-4 имеют зубьев на

большей шестеренке и зубьев на меньшей шестеренке (причем ). На последней 5 ступени меньшая шестеренка заменена на диск радиуса , на который намотана веревка, к которой привязывают поднимаемый груз . Первую шестерню приводят во вращения с помощью червячного механизма. Ось червяка вращают с помощью ручки, длина плеча которой равна . Силу прикладывают к рукоятке перпендикулярно плечу. Определите массу груза, которую можно поднять с помощью этой лебедки.

Решено

1.4 Домкрат.

На рисунке показан домкрат и его схема. Основу домкрата составляет подвижная рама , имеющая форму ромба со стороной $см$ . Эти стороны соединены шарнирно. Между точками и находится стержень с резьбой с шагом $мм$ . При вращении стержня узел (внутри которого имеется гайка с соответствующей резьбой) приближается к узлу , при этом узел поднимается и поднимает необходимый груз. Стержень с резьбой вращают с помощью рукоятки $АЕ$ , длина которой $см$ . Силу $Н$ прикладывают к ручке рукоятки перпендикулярно к плечу $АЕ$ . Рассчитайте подъемную силу домкрата (т.е. силу ) в тот момент, когда расстояние (обозначим его ) в два раза больше расстояния .

Постройте примерный график зависимости подъемной силы домкрата от длины (которая изменяется в ходе подъема).

Подсказка. Рассмотрите малое изменение величины .

1.4 Домкрат.

Нам необходимо связать путь, пройденный рукояткой, с высотой подъема груза. Пусть узел сместился на малое расстояние , а груз поднялся на высоту . Из теоремы Пифагора для длины стороны ромба можно записать два выражения (до смещения и после смещения)

Здесь высота до начала смещения.
Раскроем скобки во втором уравнении

Так как мы считаем смещения малыми, то в этой формуле можно пренебречь еще более малыми квадратами смещений. Если теперь из уравнения (2) вычесть первое уравнение системы (1), то получим

Если рукоятка сделает один оборот (ее конец пройдет путь ), то узел сместится на величину шага винта , при этом груз поднимется на величину . В очередной раз записываем уравнение, следующее из «золотого правила механики»

Подставляя численные значения, получим окончательный результат
$с м с м Н Н$
Итак, грузоподъемность – более 9 Тонн, а приложенная сила всего-то 5 Килограмм!
Для построения графика в формуле (4) необходимо выразить подставить как функцию . Эту зависимость, можно выразить из первого уравнения системы (1):

Таким образом, искомая функция имеет вид