Нарисуй свободное тело ракеты в момент старта и отметь все силы, действующие на неё.

Применяй второй закон Ньютона к телу при нулевом ускорении: алгебраическая сумма сил равна нулю.

1. Изобрази вверх направленную силу тяги и вниз — силу тяжести.
2. Запиши уравнение равновесия сил для ракеты в начальный момент.
3. Вырази силу тяги из полученного уравнения.

В начальный момент тяга равна весу ракеты — используй это условие.

Прими за известное соотношение между тягой и расходом: сила тяги равна μu (полученное в предыдущем пункте).

1. Запиши условие равновесия в начальный момент: тяга = вес.
2. Подставь выражение для тяги через μ и u в это уравнение.
3. Вырази μ из полученного уравнения.

Подумай, какую работу совершает двигатель за малый промежуток времени и во что она превращается при старте (ракета покоится).

Воспользуйся определением мощности: P = работа/Δt; работу за Δt можно взять равной изменению кинетической энергии сгоревшей массы (теорема о кинетической энергии).

1. Выпиши изменение кинетической энергии сгоревшей массы за Δt, учитывая её скорость истечения u.
2. Раздели эту энергию на Δt, чтобы получить выражение для мощности в терминах μ и u.
3. Подставь ранее найденное выражение для μ и вырази мощность P из полученной системы.

Масса ракеты уменьшается по закону m(t)=M−μt, тяга постоянна вверх; запиши силы и отношение масс.

Применяй второй закон Ньютона к ракете с переменной массой в формулировке для тела: суммарная внешняя сила равна m(t) a(t).

1. Запиши уравнение движения: F_0 − m(t) g = m(t) a(t).
2. Подставь m(t)=M−μ t и выражение для F_0 через μ и u; используй связь μ из предыдущих пунктов.
3. Приведи уравнение к выражению для a(t) и затем переведи его в безразмерную форму a/g как функцию η = m/M; вырази a из полученной системы.

Интервал Δt ищи как время, за которое масса уменьшается на 10% от начальной массы M.

Так как μ = dm/dt постоянен, используйте простое соотношение t = Δm/μ для изменения массы на Δm.

1. Вычисли Δm = 0.1 M.
2. Запиши Δt = Δm/μ.
3. Подставь найденное ранее значение μ и вырази Δt из полученного уравнения.

Для малых равных интервалов Δt считаем, что между узловыми моментами ускорение меняется линейно; скорость — интеграл ускорения.

Применяй численную схему с усреднением ускорений на отрезке: при линейной аппроксимации u_n = u_{n-1} + 0.5 (a_{n-1}+a_n) Δt.

1. Разбей активный участок на N равных интервалов Δt, вычисли a в узловых точках по формуле из пункта 1.5.
2. Применяй рекуррентно формулу трапеций для получения u_n из a_{n-1} и a_n.
3. Построй график скорости как ломаную, соединяющую точки (t_n,u_n), и вырази u_n из полученных отношений.

Аналогично предыдущему: высота — интеграл скорости, а скорость известна в узловых точках.

Используй ту же схему трапеций для интегрирования: h_n = h_{n-1} + 0.5 (u_{n-1}+u_n) Δt.

1. Возьми полученные в пункте 1.7 значения u_n и начальное h_0=0.
2. Вычисли последовательно h_n по формуле трапеций для каждого интервала.
3. Построй график высоты как ломаную через точки (t_n,h_n) и вырази h_n из полученных соотношений.

После прекращения тяги ракета поднимется ещё на некоторую высоту, преобразуя кинетическую энергию в потенциальную; это добавляет к высоте, набранной за время горения.

Найди скорость u_max в момент окончания горения (из предыдущих пунктов) и используй кинематическое соотношение для подъёма при нулевой начальной ускоряющей силе: дополнительная высота = u_max^2/(2g).

1. Определи скорость в момент выключения двигателя u_max (через численный метод или точную формулу из решения).
2. Определи высоту H, на которой закончился период горения (h(t_m)).
3. Вычисли z_max = H + дополнительная высота и вырази z_max из полученной системы.