Полетели? — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2013 10 класс № 2

1.1

1.1 В момент старта сила тяги, очевидна равна силе тяжести

$р$

Численное значение $р Н к Н$

1.2

1.2 Проще всего доказать эту формула в системе отсчета связанной с ракетой в какой-то малый промежуток времени. В этой системе продукты сгорания получают импульс . Следовательно, и ракета получает такой же импульс (только в противоположном направлении) Разделив это выражение на малый промежуток времени получим требуемое выражение для силы тяги. Так как величина силы не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, то это выражение справедливо для любого момента времени и любой скорости ракеты.

1.3

1.3 Так как в начальный момент времени сила тяги равна силе тяжести, то расход топлива можно найти из этого условия

$кг с$

1.4

1.4 Мощность двигателя ракеты: , где – работа, совершенная силами давления продуктов сгорания в камере сгорания двигателя за промежуток времени . По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии продуктов сгорания и ракеты. В момент старта ракета покоилась, поэтому:

$МВт$

1.5

1.5 К моменту времени после старта масса ракеты уменьшилась и стала равна . По второму закону Ньютона:

$р$

Учитывая полученные ранее выражения для силы тяги и расхода топлива, получаем:

В таблице 1 приведены рассчитанные по формуле (8) значения . На рисунке 2 приведен график зависимости с линейной аппроксимацией между расчетными точками.

1.6

1.6 Время работы двигателя определяется скоростью расхода топлива:

$с$

1.7

1.7 Скорость может быть получена как площадь фигуры, ограниченной осью времени и графиком . Учитывая линейную зависимость между точками и , получим для значений скорости:

Полученные значения приведены в таблице 1. Максимальная скорость ракеты
$м с$

1.8

1.8 Высота, которой достигает ракета, рассчитывается аналогично, используя график зависимости с линейной аппроксимацией между расчетными точками:

Полученные значения приведены в таблице 1.