Часть А. Абсолютное скольжение

1. Две ступеньки

A1.1. При движении шайбы горизонтальная составляющая ее скорости остается неизменной. Тогда определяется из условия, чтобы шайба равномерно пролетела по горизонтали длину ступеньки в то время, как равноускоренно упадет на ее высоту. Тогда:

, откуда:

A1.2. Так как горизонтальная составляющая скорости шайбы остается постоянной в ходе движения и расстояние до точки в обоих случаях ( и ) одно и то же, то, считая и приблизительно равными, время достижения цели будет одинаковым. Иначе говоря, время движения до точки при примерно постоянной начальной скорости не зависит от того, было ли промежуточное соударение со ступенькой.

A1.3. В силу сохранения горизонтальной составляющей скорости шайбы кинетическая энергия шайбы в начале и движения и в точке в обоих случаях совпадают. Таким образом, «теряется» лишь потенциальная энергия шайбы в поле тяжести, изменение которой в обоих случаях равно , где – масса шайбы. Потери механической энергии в случаях или одинаковы.

2. Бесконечная лестница.

A2.1. Так как в бесконечной лестнице движение на каждой следующей ступеньке будет повторять движение на предыдущей, достаточно рассмотреть лишь один пролет. Одну ступеньку шайба пролетит за время . При этом по наклонной плоскости шайба преодолеет расстояние, равное диагонали одной ступеньки . Тогда скорость кажущегося движения равна:

Часть В. Трение скольжения

B1.1 Во время соударения на шайбу действуют следующие силы: сила тяжести – вертикально вниз, сила реакции со стороны поверхности – вертикально вверх и сила трения скольжения – горизонтально против направления движения. Вертикальная составляющая скорости перед соударением равна , после неупругого соударения – нулю. Тогда 2-й закон Ньютона в импульсной форме в проекции на ось, направленную вертикально вверх, выглядит следующим образом:

где – средняя сила реакции за – время соударения. Так как время соударения очень мало, то для того, чтобы произведение в правой части равнялось , необходимо чтобы сила реакции была достаточно велика (на силу тяжести такое требование наложить нельзя, так как она полностью определена массой шайбы). Тогда силой тяжести в разности в правой части можно пренебречь, откуда:

Так как в любой момент времени справедливо , то аналогичное выражение выполняется и для средних по времени величин. Тогда 2-й закон Ньютона в импульсной форме в проекции на горизонтальную ось вдоль направления движения можно записать в виде:

Отсюда получаем:

B1.2 Для того чтобы сохранила значение и смысл, указанный в пункте A1.1, будем считать, что это скорость в момент отрыва с верхней ступеньки. В случае потери механической энергии происходят на трех этапах: первое соударение со ступенькой, второе соударение с поверхностью, скольжение по поверхности до точки Ф. При первом соударении потери можно найти, зная скорость после соударения, рассчитанную в пункте B1.1:

где . Подставляя выражение для , получаем:

Потери энергии во время второго соударения считаются аналогично:

где . Отсюда следует:

Во время «второго полета» шайба отлетит от ступеньки по горизонтали на расстояние . Если обозначить расстояние от края ступеньки до точки Ф за , то в силу постоянства силы трения скольжения и отсутствия вертикального ускорения потери энергии на третьем этапе будут равны:

Таким образом, полные потери энергии в случае равны:

В случае потери энергии происходят на двух этапах: соударение с поверхностью и дальнейшее скольжение. Расчет производится по формулам, аналогичным приведенным выше. На первом этапе:

где рассчитывается аналогично пункту B1.1. Отсюда:

Во время полета по горизонтали шайба пролетает расстояние . Тогда потери энергии на втором этапе равны:

Полные потери энергии в случае :

То есть потери энергии в обоих случаях одинаковы. Данный результат говорит о том, что зависимость потерь энергии от начальной скорости шайбы непрерывна, не испытывает скачка в точке .