Сползание капель — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2016 11 класс № Э1

1.1

1.1 На рисунке изображены силы, действующие на каплю в процессе ее движения. Так как сила сопротивления зависит от скорости по закону

И направлена в сторону противоположную вектору скорости , то после небольшого этапа разгона капля будет двигаться с постоянной скоростью. В этом случае проекция силы тяжести на наклонную поверхность будет уравновешена силой сопротивления. Поэтому в этом случае будет выполняться соотношение

Учитывая, что , из выражения (2) получим связь между скоростью капли и высотой подъема плоскости

1.2

1.2 – 1.3 Сравнивая с формулой, приведенной в условии , получаем, что параметры этого выражения равны

2.1

2.1 Результаты измерений зависимости времен сползания капли на расстояние приведены в таблице 1. Измерения проведены 5 раз, затем рассчитано среднее значение соответствующий времен . В последнем столбце приведены значения случайных ошибок измерения времен (по условию задачи их расчет не требуется).

Таблица 1.

, м	, с	, с	, с	, с	, с	, с	, с
0,05	2,59	2,76	2,54	2,81	2,62	2,66	0,14
0,10	4,97	5,34	5,02	5,54	5,28	5,23	0,29
0,15	7,32	8,03	7,66	8,24	7,81	7,81	0,44
0,20	10,4	10,6	10,3	9,9	10,5	10,34	0,33
0,25	11,2	13,5	12,6	14,2	13,1	12,92	1,40
0,30	13,9	15,8	15,3	16,7	15,6	15,46	1,26
0,35	16,3	18,0	17,8	19,4	18,2	17,94	1,38
0,40	18,9	21,0	20,1	22,5	20,9	20,68	1,64
0,45	22,3	23,3	22,8	24,9	23,6	23,38	1,22
0,50	25,4	26,4	25,6	27,8	26,7	26,38	1,19

Усредненный график закона движения (зависимости координаты капли от времени) приведен на рисунке.

График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, следовательно, движение капли является равномерным. Следовательно, закон движение описывается функцией

По графику ( с помощью МНК, или графически) легко найти скорость движения, которая равна коэффициенту наклона графика:

Необязательное дополнение.

Наличие повторных измерений позволяет построить более информативный график, с нанесенными диапазонами погрешностей измерений. Он показывает, что полученная зависимость действительно отлично описывается линейной функцией.

2.2

2.2 Для исследования зависимости скорости движения капли, от высоты края наклонной плоскости следует провести измерения времени смещения капли (конечно, измерения следует проводить несколько раз, а затем рассчитать среднее значение ) на заданной измеренной расстояние . Тогда скорость капли рассчитывается по формуле

Результаты измерения времен сползания капель при разных высотах наклонной плоскости приведены в таблице 2. Для каждой высоты поведено 5 измерений () и рассчитано среднее значение этого времени . Также обратите внимание, что измерения проведены для разных значений пройденного пути

Таблица 2

		\multicolumn{6}{c	}{Время движения}
, м	, м	, с	, с	, с	, с	, с	, с	, $см с$
0,111	0,10	26,80	28,00	28,60	27,40	27,10	27,58	0,36	-2,198	-1,015
0,135	0,10	16,60	15,90	16,80	16,90	15,70	16,38	0,61	-2,002	-0,493
0,163	0,20	21,20	20,70	20,80	22,10	21,50	21,26	0,94	-1,814	-0,061
0,198	0,20	10,40	10,60	10,30	9,92	10,50	10,34	1,93	-1,619	0,659
0,238	0,30	8,36	8,19	7,81	8,01	8,26	8,13	3,69	-1,435	1,306
0,267	0,30	6,80	6,94	7,16	6,78	7,06	6,95	4,32	-1,321	1,463
0,298	0,60	8,10	8,16	7,90	7,82	8,24	8,04	7,46	-1,211	2,009
0,330	0,60	7,12	7,40	7,25	7,55	7,46	7,36	8,16	-1,109	2,099
0,379	0,60	4,36	4,41	4,29	4,52	4,38	4,39	13,66	-0,970	2,615

График зависимости скорости капли от высоты показан на рисунке. На этом графике также указаны погрешности измерения скоростей движения. Видно, что полученная зависимость является не линейной. Однако визуально определить вид функциональный зависимости затруднительно. Поэтому данный график не является обязательным.

Для проверки применимости функции (2) для описания полученных результатов необходимо данный график построить в двойном логарифмическом масштабе.

Линейность этой зависимости подтверждает формулу (2), из которой следует, что

Параметры линейной зависимости , рассчитанные по МНК имеют следующие значения (расчет погрешностей по условию задачи, к сожалению не требуется):

С высокой степенью точности можно считать, что показатель степени , соответственно, . Найденные значения параметров зависимости в двойной логарифмической шкале позволяют записать явный вид функции (2)

Здесь измеряется в мерах, скорость в м/с.

Обратим также внимание на удивительный факт: зависимость силы сопротивления от скорости имеет неожиданный вид

Теоретическое обоснование полученного результата требует отдельных исследований, что не входит в задачу экспебриментального тура.

Примечания

1. Строго говоря, в данном случае проведение сглаживающей прямой в данном случае не имеет смысла, так аргумент этой функции изменяется дискретно. Но мы провели ее, для наглядности, как иллюстрацию линейной зависимости. ↩

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи