Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.Первые полеты на воздушных шарах состоялись во Франции в 1783 году. Энтузиастами воздухоплавания являлись братья Жозеф-Мишель и Жак-Этьен Монгольфье. Они сконструировали и изготовили шар, который наполнялся теплым (подогреваемым снизу) воздухом. Воздушные шары такого типа получили название монгольфьеры.
Конкурентами братьев Монгольфье выступили профессор Жак Шарль, которому помогали механики братья Роббер. Их шары наполнялись водородом. Шары, наполненные легкими газами, получили названия шарльеры.
В данной задаче вам необходимо рассчитать высоты, на которые могли подниматься эти шары. Предварительно Вам необходимо рассчитать некоторые характеристики земной атмосферы. Во всех расчетах используйте модель стандартной атмосферы. Считайте, что на любой высоте газ внутри шаров находится в состоянии равновесия – температура и давления постоянны внутри объема оболочки.
1.1 Рассчитайте плотность воздуха на уровне моря
Какие численные величины из условия уже известны на уровне моря и какая из искомых величин должна быть найдена? Переведи температуру в абсолютную шкалу.
Запиши уравнение состояния идеального газа в удобной форме и приведи его к выражению через плотность (
- Переведи
C в абсолютную температуру в Кельвинах. - Подставь в уравнение состояния значения
, , молярную массу и для получения соотношения для на уровне моря. - Упрость полученное выражение и выразите
из полученной формулы.
1.1 Для расчета плотности воздуха следует воспользоваться уравнением состояния идеального газа
Из которого следует, что плотность газа рассчитывается по формуле
Подстановка численных значений для уровня моря дает следующее численное значение:
1.2 Запишите формулу для зависимости абсолютной температуры воздуха от высоты в виде
и рассчитайте численные значения параметров
В условии сказано, что температура убывает линейно с высотой до 11 км; представь эту зависимость на графике и запиши её в виде линейной функции.
Запиши линейную зависимость абсолютной температуры
- Запиши абсолютную температуру на уровне моря
(переведи из градусов Цельсия). - Подставь прирост температур на единицу высоты
в линейную формулу. - Сравни полученную линейную запись с формой
и выпиши выражение для . - Вырази численно
и (но не подставляй в другие пункты пока).
1.2 Описание стандартной атмосферы позволяет записать зависимость температуры от высоты в виде
Сравнивая с формулой
Величина
1.3 Получите уравнение, описывающее изменение давления
Зависимости давления
При повышении на малую высоту давление уменьшается из‑за веса слоя воздуха над ним; подумай, какие две величины связываются при малом приращении высоты.
Используй уравнение гидростатики для небольшого слоя и учти, что в слое плотность можно считать постоянной:
- Запиши уравнение гидростатического равновесия в дифференциальной форме
. - Замени в нём плотность на выражение через
и при помощи уравнения состояния, если нужно связать с и . - Подчеркни, что при малом
можно считать постоянной внутри слоя. - Выразите уравнение для
через текущие величины (оставь в форме с или с ).
1.3 Для получения зависимости давления от высоты следует учесть, что плотность воздуха также изменяется с высотой. Однако при изменении высоты на малую величину
Здесь
Таким образом, уравнение для определения зависимости давления от высоты имеет вид:
Отметим, что эту формулу можно получить как производную от функции
Откуда и следует формула (9)
Подставляя найденные выражения в уравнение (8), получим:
Из этой формулы следует, что, во-первых, указанная в условии функция, действительно является решением уравнения (8); во-вторых, показатель степени в этой формуле равен
Зависимость плотности от высоты описывает следующая функция
Следовательно, показатель степени в этой зависимости равен
1.4 Получите формулы для расчета показателей степеней
1.5 На отдельном бланке постройте графики зависимостей
В ходе дальнейшего решения используйте найденные значения параметров
2.1 Рассчитайте максимальную общую массу
Подумай, при каком условии шар начнёт подниматься с уровня моря — чему должна равняться подъёмная сила относительно полной массы аппарата?
Применяй принцип Архимеда: шар поднимается, если масса вытесненного воздуха равна массе всего аппарата, то есть максимальная масса равна массе вытесненного объёма воздуха
- Запиши объём шара
и найденную ранее плотность воздуха на уровне моря . - Вычисли выражение для максимальной массы как
(не подставляй числа в подсказке). - Проверь размерности и убедись, что полученная величина — масса.
- Выразите
из этой формулы.
2.1 В соответствии с законом Архимеда максимальная масса шара равна массе воздуха, вытесненного шаром, т.е.
2.2 Оцените, на какую максимальную высоту смог подняться Ж. Шарль, после того как сошел Роббер.
Считайте, что
- в первом поле масса шара с двумя пассажирами равнялась максимально возможной массе, найденной в п. 2.1;
- масса Роббера равна
; - объем шара остается неизменным при подъеме.
После того как один пассажир сошёл, шар по-прежнему вытесняет объёмный слой воздуха того же объёма; подумай, какая плотность воздуха нужна, чтобы остаться в равновесии на новой высоте.
Запиши условие равновесия на высоте
- Запиши уравнение
. - Раздели на
, чтобы получить простое уравнение вида . - Возьми степень
и вырази . - Выразите
из полученной формулы (дальше остаётся только подстановка чисел).
2.2 Так как оболочка закрыта, то масса водорода остается неизменной. Кроме того, в условии оговорено, что объем оболочки остается постоянным, поэтому и средняя плотность воздушного шара также остается неизменной.
На максимальной высоте масса вытесненного воздуха равна
из которого следует уравнение:
Разделим это уравнение на равенство (14), в результате чего получим
Откуда находим максимальную высоту подъема
Допустимо и приближенное решение уравнения (16), с использованием приближенной формулы
Также можно воспользоваться построенным графиком зависимости
Отметим, что согласно историческим данным Ж. Шарль поднялся на высоту в 3 км, возможно, наша оценка оказалась заниженной, потому что при расчетах не принималось во внимание расширение оболочки шара по мере подъема.
3.1 Монгольфьер начал подниматься (находясь на уровне моря), когда благодаря подогреву температура воздуха внутри шара превысила наружную на величину
Шар начал подниматься, когда подъёмная сила превысила вес оболочки с гондолой; подумай, что остаётся неизменным в процессе и какие величины известны при старте.
Применяй Архимедову силу: момент подъёма наступает, когда масса вытесненного воздуха равна массе оболочки и подвешенной конструкции; внутри шара воздух при стартовой температуре имеет плотность, связанное с уравнением состояния при разности температур
- Запиши условие равновесия при старте:
, где и выражается через с помощью при том же давлении. - Подставь
и в разность плотностей; сократи общие множители . - Вырази массу оболочки
в виде функции известныx величин без численного подсчёта. - Выразите
из полученной формулы.
3.1 Так как оболочка монгольфьера открыта, то на любой высоте одинаковыми будут давления воздуха внутри шара и снаружи. Масса воздуха внутри оболочки не будет изменяться при изменении его температуры и давления.
Используя закон Архимеда, можно записать условие равновесия шара на произвольной высоте
Где
Так как давления воздуха внутри и вне оболочки одинаковы, то разность плотностей можно представить в виде
Тогда условие равновесия шара принимает вид
В частности, на уровне моря, это выражение позволяет рассчитать общую массу монгольфьера
3.2 При увеличении мощности нагрева разность температур воздуха внутри шара и вне его удалось довести до величины
Бланк к задаче «Монгольфьер и шарльер»
Зависимости температуры (1), давления (2), плотности (3) от высоты z
Не забудьте сдать этот бланк!
При постоянной разности температур внутри и снаружи шар поднимается до высоты, где встречается новая внешняя плотность, дающая нулевой подъём; представь условие равновесия на высоте.
Запиши уравнение равновесия на высоте
- Запиши внешнюю плотность на высоте
. - Запиши внутреннюю плотность как
, используя и . - Подставь эти выражения в баланс
и сократи общие множители, получив уравнение для . - Выразите
из полученной системы (дальше остаётся лишь численно решить/подставить).
3.2 С помощью соотношений (21) и (22) можно получить уравнение для нахождения максимальной высоты подъема:
Преобразуем его к виду
Это уравнение слишком сложно для аналитического решения. Поэтому необходимо использовать приближенные методы. Одним из возможных способов такого решения является графический. Заметим, что функция, стоящая в правой части, является линейной
Рассчитаем коэффициенты этой линейной зависимости
Далее на Бланке с графиком зависимости плотности атмосферы от высоты следует построить график этой функции
Другой способ приближенного расчета – воспользоваться приближением для функции
Тогда уравнение (24) становиться линейным и решается элементарно. Значение высоты в этом приближении оказывается равным
Похожие задачи
Знаете ли Вы законы Архимеда и Паскаля?
Вопрос 0. Запишите формулу для силы Архимеда, все обозначения расшифруйте.
Далее задача состоит из 5 несвязанных между собой вопросов.
Это не …
Водная феерия
В сосуде под крышкой находится перегретая вода, находящаяся при температуре
Задача 10-3
Задача 3 «Вода и пар»*
Напомним некоторые физические свойства воды:*
• молярная масса
• плотност …
Степенные зависимости
Задание состоит из двух задач, связанных одной математической идеей:
если некоторая величина
Вода из воздуха
В воздухе, окружающем нас, всегда содержится некоторое количество водяного пара. При некоторых условиях этот пар конденсируется, то есть превращается …
У Р Б П ≈2/5 Т1
Разминка
Данное задание состоит из двух несвязанных между собой задач.
Задача 1.1
Однородная доска массы