Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.Упругий жгут длиной
где
1. Провисание шнура
Жгут закреплен горизонтально между двумя точками подвеса, находящимися на расстоянии
1.1 Найдите величину провисания жгута
Нарисуй силы, действующие на груз, и отметь угол отклонения нитей от горизонтали; подумай, какие силы удерживают груз по вертикали.
Запиши условие равновесия по вертикали для груза (проекция суммарной натяжной силы двух сторон) и закон Гука для растяжения каждого плеча жгута:
- Вырази удлинение одного плеча через геометрию: длина плеча
, поэтому . - Подставь это
в и вместе с уравнением равновесия получишь систему для и . - Упрость левую часть, используя приближение малых углов (формулы (2)) и приведи уравнение к виду с одной неизвестной
. - Выразите
из полученной системы.
1.1 На рисунке показаны силы, действующие на точку крепления груза. Сила натяжения жгута обозначена
Силу упругости жгута также можно выразить из закона Гука
Из этих выражений получаем уравнение для определения угла
Это уравнение может быть сведено к алгебраическому уравнению степени, большей, чем два. Поэтому для его решения проще воспользоваться приближением малых углов. В этом приближении (с учетом формул, приведенных в условии задачи) левую часть уравнения преобразуем к виду:
Тогда из уравнения (3) следует, что угол отклонения жгута от горизонтали задается формулой
А провисание жгута оказывается равным
1.2 Какую максимальную массу груза может выдержать жгут при таком подвесе?
В данной части задачи массой жгута следует пренебречь, величину провисания, а также угол отклонения жгута
2. Вращающийся жгут
Из описанного жгута сделали круглое кольцо и раскрутили его до угловой скорости
Подумай, при каком условии жгут разрывается; что надо подставить в уравнения равновесия в предельном случае?
Используй те же уравнения статического равновесия и закон Гука, дополни их условием разрыва
- Возьми уравнения из пункта 1.1:
и выражение через через закон Гука с геометрией плеча. - Применяй малые углы, чтобы упростить выражения до алгебраического вида, связывающего
, и . - В предельном случае положи
и подставь в упрощённую систему. - Выразите
(максимальную массу) из полученной системы.
1.2 Жгут разорвется, если сила его натяжения станет
Откуда следует окончательный результат:
X класс. Теоретический тур. Вариант 1.
2.1 Чему равна сила упругости (сила натяжения) жгута в этом случае?
2.1 Выделим мысленно на кольце небольшой участок
Это ускорение ему сообщают силы упругости кольца
Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного участка кольца в проекции на радиальное направление (с учетом малости угла
Здесь
Подставляя это выражение для массы участка, получим выражение для силы натяжения кольца
Это выражение не является окончательным ответом, так как в нем остается неизвестным радиус кольца, который увеличивается по мере раскручивания. Поэтому запишем формулу для силы натяжения, используя закон Гука:
Решая совместно уравнения (9)-(10) относительно силы натяжения
Эта формула справедлива только при
При больших угловых скоростях кольцо начнет расширяться вплоть до разрыва, так как силы упругости не в состоянии обеспечить нужное центростремительное ускорение всем частям кольца.
2.2 До какой максимальной угловой скорости можно раскрутить жгут, чтобы он еще не разорвался?
Подумай, при каком физическом событии кольцо начнёт рваться: какие два критерия нужно одновременно учитывать?
Пользуйся выражением
- Возьми формулу
из пункта 2.1 и выражение закона Гука, связывающее и . - Поставь
и реши систему относительно , получив условие достижения предельной натяжной силы. - Проверь, что при полученном
выполняется исходное ограничение применимости (т.е. что ранее сделанные предположения не нарушены). - Выразите
из полученной системы.
2.2 Итак, первое условие разрыва кольца – нарушение неравенства (12).
Считая, что неравенство (12) выполняется, а сила упругости, определяемая формулой (11) достигла максимального значения
X класс. Теоретический тур. Вариант 1.
Заметим, что угловая скорость, определяемая по формуле (13) всегда меньше,
скорости, задаваемой формулой (12). Поэтому окончательным ответом на поставленный
вопрос является формула (13).
2.3 Чему равна максимальная скорость вращения нерастяжимого кольца (при той же предельной силе натяжения)?
Представь предельный случай: жгут абсолютно нерастяжим, значит длина кольца постоянна и радиус фиксирован.
Для нерастяжимого кольца подставь
- Запиши массу участка и радиальное уравнение Ньютона, как в пункте 2.1.
- Подставь
и упростить выражение, получив соотношение между , и известными величинами. - Положи в этом соотношении
для предельного случая. - Выразите
из полученной системы.
2.3 Переход к нерастяжимому жгуту может быть формально проведен с помощью формулы
(13), если считать, что
скорость описывается формулой
Впрочем, этот же результат непосредственно следует из уравнения (9), если положить, что
длина окружности кольца равна длине жгута.
Похожие задачи
Задача 10-1
Для описания упругих свойств веществ используются различные характеристики, одной из которых является модуль Юнга
Задача 9-3
Задание 3. «Храбрый Мюнхгаузен»*
Согласно не дошедшим до наших дней военным рассказам широко известного барона, в одной из битв с крупным неприятелем …
Цирковая разминка
Это задание состоит из двух не связанных между собой задач.
Задача 1. Девочка на шаре
Построим предельно упрощенную модель этого изящного …
У Р Б П ≈2/5 Т1
Задача 9-1
Задание 1. «Автокран»*
Автокран массы
Изгиб стержня
Оборудование: Штатив с лапкой, линейка ученическая, два груза известной массы, нитки, скотч, стержень для шариковой ручки, палочка деревянная для …
У Р Б П ≈2/5 Т4
Задача 9-4
К гладкой вертикальной стене приставлена лестница массой